Dowód Twierdzenia

[andzia65]

Witam potrzebuje pomocy przy zrozumieniu dowodu twierdzenia :
Jeśli X jest zbiorem lokalnie słabo zwartym, \(\displaystyle{ T :X \rightarrow X}\) jest odwzorowaniem nieoddalającym i T spełnia (CFP), wtedy Fix(T) jest retraktem nieoddalającym X.

jest on przetłumaczony z pewnego artykułu jednak zbyt ogólnie jak dla mnie niestety.
Bardzo proszę o pomoc, dla pomocy co znaczy, że spełnia CFP:
E przestrzeń Banacha, X domknięty, wypukły podzbiór E, \(\displaystyle{ T : X \rightarrow E}\) spełnia (CFP) (conditional fixed point property)(warunkową własność punktu stałego), jeśli \(\displaystyle{ Fix(T)=\emptyset}\) lub jeśli dla dowolnego C domkniętego, wypukłego, ograniczonego zbioru zawartego w X takiego, że\(\displaystyle{ T(C)\subset C, Fix(T|_C)\neq \emptyset}\).

Dowód:
Ponieważ zbiór pusty z definicji jest nieoddalającym retraktem X, zakładam, że \(\displaystyle{ Fix(T) \neq \emptyset}\). Niech \(\displaystyle{ z \in X}\), definiuję \(\displaystyle{ K:= \{f(z) : f \in N(Fix(T))\}}\). K jest obrazem N(Fix(T)) i ponieważ N(Fix(T)) jest zwarty, co wiem z lematu ( Niech F będzie niepustym podzbiorem lokalnie słabo zwartego, wypukłego zbioru X, niech \(\displaystyle{ N(F) = \{f | f: X \rightarrow X \quad jest \quad nieoddalający \quad i \quad f(x) = x \quad dla \quad każdego \quad x \in F \}}\). Wtedy N(F) jest zwarty w topologii słabej punktowej zbieżności.) i ciągły, to K musi być słabo zwartym zbiorem, stąd ograniczonym. Oczywiście K jest niepusty.

Jeśli \(\displaystyle{ f,g \in N(Fix(T))}\) i \(\displaystyle{ 0 \leq \lambda \leq 1}\), to \(\displaystyle{ \lambda f +(1-\lambda)g \in N(Fix(T))}\).
Zatem K jest zbiorem wypukłym. W związku z tym $K$ jest ograniczonym, niepustym, domkniętym, wypukłym podzbiorem X.

Dla \(\displaystyle{ f\in N(Fix(T))}\) mam \(\displaystyle{ T \circ f \in N(Fix(T))}\). Otrzymuję zawieranie \(\displaystyle{ T(K)\subset K}\).
Ale T spełnia (CFP), ma punkt stały oraz jest niezmiennikiem K. Więc T ma punkt stały należący do K. To oznacza, że istnieje\(\displaystyle{ h \in N(Fix(T))}\) takie, że \(\displaystyle{ h(z) \in Fix(T)}\). Ponieważ zachodzi to dla dowolnego \(\displaystyle{ z \in X}\), z lematu (Niech X będzie lokalnie słabo zwartym zbiorem, F będzie niepustym podzbiorem zbioru X. Załóżmy, że dla każdego \(\displaystyle{ z \in X}\) istnieje \(\displaystyle{ h \in N(F)}\) takie, że \(\displaystyle{ h(z) \in F}\). Wtedy F jest nieoddalającym retraktem X.) Fix(T) jest nieoddalającym retraktem.

[PiotrowskiW]

Wiem, że to było 2 miesiące temu ale zobacz w książce Kazimierz Goebel Twierdzenia o punktach stałych.