Równanie z całkami oznaczonymi

[mwojc]

Mam równanie:

\(\displaystyle{ H \int_{0}^{H}{\eta(z)^2\: dz} - \left(\int_{0}^{H}{\eta(z)\: dz}\right)^2 = 0}\)

Pytanie brzmi jak poszukiwać funkcji \(\displaystyle{ \eta(z)}\) które spełniają to równanie? I czy to w ogóle możliwe? Na razie mam jedno trywialne rozwiązanie \(\displaystyle{ \eta(z)=const}\) .

Pozdrawiam.
Marek

[a4karo]

A \(\displaystyle{ H}\) to stała, czy zmienna?

[mwojc]

\(\displaystyle{ H \in (0, \infty)}\)

[bartek118]

Załóżmy, że \(\displaystyle{ \eta \geq 0}\) . Zauważ, że z nierówności Holdera (lub z Jensena - jak kto woli) mamy:
\(\displaystyle{ \left( \int_0^H \eta(z) \, dz \right)^2 \leq H \int_0^H \eta(z)^2 \, dz}\)
Czyli:
\(\displaystyle{ 0 = H \int_{0}^{H}{\eta(z)^2\, dz} - \left(\int_{0}^{H}{\eta(z)\, dz}\right)^2 \geq H \int_{0}^{H}{\eta(z)^2\, dz} - H \int_0^H \eta(z)^2 \, dz = 0}\)
Czyli w nierówności Holdera musi zachodzić równość, czyli gdy funkcje \(\displaystyle{ \eta}\) i stała są liniowo zależne, czyli \(\displaystyle{ \eta}\) jest stała.

Nie wiem, jak przeprowadzić to rozumowanie dla \(\displaystyle{ \eta}\) , która mogłaby przyjmować wartości ujemne.

[mwojc]

Hej, Dziękuje za odpowiedź, proszę jednak o objaśnienia. Z nierówności Holdera, tak jak to jest opisane na Wikipedii ( ... ue_measure), przy przyjęciu \(\displaystyle{ f(x)=g(x)=\eta(x) \geq 0}\) , wychodzi mi raczej nierówność:

\(\displaystyle{ \left( \int_0^H \eta(z) \, dz \right)^2 \geq \int_0^H \eta(z)^2 \, dz}\)

Jak uzasadniasz zmianę kierunku nierówności i przejście do całkowania od \(\displaystyle{ 0}\) do \(\displaystyle{ 1}\) ?

Pozdrawiam.
Marek

[a4karo]

\(\displaystyle{ \eta(z)=1\cdot\eta(z)}\) i teraz Holder

[bartek118]

Jak uzasadniasz zmianę kierunku nierówności i przejście do całkowania od \(\displaystyle{ 0}\) do \(\displaystyle{ 1}\) ?

Natomiast to była literówka -- powinno być od \(\displaystyle{ 0}\) do \(\displaystyle{ H}\).

[mwojc]

Niestety nadal tego nie widzę. Jeżeli \(\displaystyle{ \eta(z)=1\cdot\eta(z)}\) , czyli jak rozumiem \(\displaystyle{ f(z)=1,\ g(z)=\eta(z)}\) , to mi wychodzi:

\(\displaystyle{ H \int_0^H \eta(z) \, dz \geq \int_0^H \eta(z) \, dz}\)

Jest to samo w sobie jest dziwne, bo to by oznaczało, że musi być spełnione \(\displaystyle{ H\geq 1}\) , a niby dlaczego?

Nawet jeżeli pogodzę się z tym wynikiem i pomnożę go stronami przez \(\displaystyle{ \int_0^H \eta(z) \, dz}\) , zaś mój poprzedni wynik dla \(\displaystyle{ f(z)=g(z)=\eta(z)}\) pomnożę stronami przez \(\displaystyle{ H}\) to otrzymam dwie nierówności:

\(\displaystyle{ H \left(\int_0^H \eta(z) \, dz \right)^2 \geq \left(\int_0^H \eta(z) \, dz\right)^2}\)
\(\displaystyle{ H \left(\int_0^H \eta(z) \, dz \right)^2 \geq H\int_0^H \eta(z)^2 \, dz}\)

z których nadal raczej nie wynika Twój wynik. I nie mam już pomysłu...

Pozdrawiam.
Marek

[bartek118]

\(\displaystyle{ \int_0^H \eta(z) \, dz \leq \left( \int_0^H 1 \, dz \right)^{1/2} \left( \int_0^H \eta(z)^2 \, dz \right)^{1/2}}\)

[mwojc]

No jasne! Dziękuję.

W takim razie mam uzasadnienie, że \(\displaystyle{ \eta(z)}\) musi być stałą. Warunek \(\displaystyle{ \eta(z) \geq 0}\) mi nie przeszkadza, bo takie funkcje miałem na myśli zasadniczo. Teraz jeszcze jedno pytanie, a właściwie prośba o potwierdzenie: czy \(\displaystyle{ \eta(z)}\) może być też kawałkami stała, np.:

\(\displaystyle{ \eta(z) = \begin{cases} 1 \quad \textrm{dla} \quad z\in\langle 0, \frac{H}{2}) \\
0.5 \quad \textrm{dla} \quad z\in\langle\frac{H}{2}, H\rangle
\end{cases}}\)

Wydaje mi się oczywiste, że tak, ale wolę się upewnić...

Pozdrawiam,
Marek

[bartek118]

Nie może

[mwojc]

No to mnie zmartwiłeś. Ale po chwili namysłu stwierdzam, że masz oczywiście rację

Dziękuję za pomoc i pozdrawiam,
Marek