Rozwiązanie ogólne równania Eulera

[Philip]

Cześć,
właśnie rozwiązuje sobie równanie Eulera trzeciego rzędu i zatrzymałem się w jednym miejscu. Czy do tej pory wszystko poprawnie? Co dalej mam zrobić? Dla równania drugiego rzędu nie byłoby problemu, lecz trzeciego nie jestem pewien czy metoda uzmienniania stałych tutaj będzie pasować. Spójrzcie:
Wyznaczyć rozwiązanie ogólne równania Eulera
\(\displaystyle{ t^{3}y'''-t^{2}y''+2ty'-2y=t^{3}}\)

\(\displaystyle{ t^{3}y'''(t)-t^{2}y''(t)+2ty'(t)-2y(t)=0}\)
\(\displaystyle{ y(t)=t^{k}}\)
\(\displaystyle{ y'(t)=kt^{k-1}}\)
\(\displaystyle{ y''(t)=k(k-1)t^{k-2}}\)
\(\displaystyle{ y'''(t)=k(k-1)(k-2)t^{k-3}}\)
\(\displaystyle{ k(k-1)(k-2)t^{k}-k(k-1)t^{k}+2kt^{k}-2t^{k}=0 / :t^{k}}\)
\(\displaystyle{ k(k-1)(k-2)-k(k-1)+2k-2=0}\)
\(\displaystyle{ k(k-1)(k-2)-(k-2)(k-1)=0}\)
\(\displaystyle{ (k-1)^{2}(k-2)=0}\)
\(\displaystyle{ y_{1}(t)=t}\)
\(\displaystyle{ y_{2}(t)=t\ln(t)}\)
\(\displaystyle{ y_{3}(t)=t^{2}}\)
\(\displaystyle{ y(t)=c_{1}(t)t+c_{2}(t)t\ln(t)+c_{3}(t)t^{2}}\)

No i na tym się zasadniczo zatrzymałem. Jakieś pomysły jak dalej ruszyć?

[Mariusz M]

Możesz to równanie sprowadzić do równania o stałych współczynnikach
podstawieniem \(\displaystyle{ x=e^{t}}\)

To jest równanie liniowe więc uzmiennianie stałych powinno działać
Zapisujesz układ równań z macierzą Wrońskiego , rozwiązujesz go,
całkujesz i wstawiasz do postaci całki szczególnej

Zakładając że całki szczególne równania jednorodnego policzyłeś poprawnie to
całka szczególna równania niejednorodnego wygląda następująco

\(\displaystyle{ y(t)=c_{1}(t)t+c_{2}(t)t\ln(t)+c_{3}(t)t^{2}}\)

[kerajs]

1)
Można przewidywać całkę szczególną:
\(\displaystyle{ y_s=At^3}\)
2)
lub użyć metody uzmienniana stałych
\(\displaystyle{ \begin{cases} tC_1'+t\ln tC_2'+t^2C_3'=0\\ C_1'+(\ln t+1)C_2'+2tC_3'=0 \\ \frac{1}{t}C_2'+2C_3'=\red 1\end{cases}}\)
czerwona jedynka wynika z właściwej postaci liczonego równania:
\(\displaystyle{ y'''- \frac{1}{t}y''+ \frac{2}{t^2}y'- \frac{2}{t^3}y= \red 1}\)

[Philip]

Dzięki, ja nie wiedziałem jak ma do końca wyglądać ten układ równań a właściwie czemu mają się dane linie równać. Pytanie, czemu tylko ostatnie pochodne są = 1 i czemu nie bierzemy np t_^{3} ? No, bo różne rozwiązania widziałem.


Ogólnie to dzięki, bo w sumie wiem jak już dokończyć.