Rozwiązanie ogólne równania Eulera

Równania różniczkowe i całkowe. Równania różnicowe. Transformata Laplace'a i Fouriera oraz ich zastosowanie w równaniach różniczkowych.
Philip
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19
Rejestracja: 16 mar 2016, o 18:23
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska

Rozwiązanie ogólne równania Eulera

Post autor: Philip » 30 sty 2018, o 19:07

Cześć,
właśnie rozwiązuje sobie równanie Eulera trzeciego rzędu i zatrzymałem się w jednym miejscu. Czy do tej pory wszystko poprawnie? Co dalej mam zrobić? Dla równania drugiego rzędu nie byłoby problemu, lecz trzeciego nie jestem pewien czy metoda uzmienniania stałych tutaj będzie pasować. Spójrzcie:
Wyznaczyć rozwiązanie ogólne równania Eulera
\(\displaystyle{ t^{3}y'''-t^{2}y''+2ty'-2y=t^{3}}\)

\(\displaystyle{ t^{3}y'''(t)-t^{2}y''(t)+2ty'(t)-2y(t)=0}\)
\(\displaystyle{ y(t)=t^{k}}\)
\(\displaystyle{ y'(t)=kt^{k-1}}\)
\(\displaystyle{ y''(t)=k(k-1)t^{k-2}}\)
\(\displaystyle{ y'''(t)=k(k-1)(k-2)t^{k-3}}\)
\(\displaystyle{ k(k-1)(k-2)t^{k}-k(k-1)t^{k}+2kt^{k}-2t^{k}=0 / :t^{k}}\)
\(\displaystyle{ k(k-1)(k-2)-k(k-1)+2k-2=0}\)
\(\displaystyle{ k(k-1)(k-2)-(k-2)(k-1)=0}\)
\(\displaystyle{ (k-1)^{2}(k-2)=0}\)
\(\displaystyle{ y_{1}(t)=t}\)
\(\displaystyle{ y_{2}(t)=t\ln(t}}\)
\(\displaystyle{ y_{3}(t)=t^{2}}\)
\(\displaystyle{ y(t)=c_{1}(t)t+c_{2}(t)t\ln(t)+c_{3}(t)t^{2}}\)

No i na tym się zasadniczo zatrzymałem. Jakieś pomysły jak dalej ruszyć?
Ostatnio zmieniony 31 sty 2018, o 00:50 przez SlotaWoj, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.

Awatar użytkownika
mariuszm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6695
Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
Pomógł: 1216 razy

Re: Rozwiązanie ogólne równania Eulera

Post autor: mariuszm » 31 sty 2018, o 05:03

Możesz to równanie sprowadzić do równania o stałych współczynnikach
podstawieniem \(\displaystyle{ x=e^{t}}\)

To jest równanie liniowe więc uzmiennianie stałych powinno działać
Zapisujesz układ równań z macierzą Wrońskiego , rozwiązujesz go,
całkujesz i wstawiasz do postaci całki szczególnej

Zakładając że całki szczególne równania jednorodnego policzyłeś poprawnie to
całka szczególna równania niejednorodnego wygląda następująco

\(\displaystyle{ y(t)=c_{1}(t)t+c_{2}(t)t\ln(t)+c_{3}(t)t^{2}}\)

Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7166
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 205 razy
Pomógł: 2851 razy

Re: Rozwiązanie ogólne równania Eulera

Post autor: kerajs » 31 sty 2018, o 07:27

1)
Można przewidywać całkę szczególną:
\(\displaystyle{ y_s=At^3}\)
2)
lub użyć metody uzmienniana stałych
\(\displaystyle{ \begin{cases} tC_1'+t\ln tC_2'+t^2C_3'=0\\ C_1'+(\ln t+1)C_2'+2tC_3'=0 \\ \frac{1}{t}C_2'+2C_3'=\red 1\end{cases}}\)
czerwona jedynka wynika z właściwej postaci liczonego równania:
\(\displaystyle{ y'''- \frac{1}{t}y''+ \frac{2}{t^2}y'- \frac{2}{t^3}y= \red 1}\)

Philip
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19
Rejestracja: 16 mar 2016, o 18:23
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska

Rozwiązanie ogólne równania Eulera

Post autor: Philip » 31 sty 2018, o 15:40

Dzięki, ja nie wiedziałem jak ma do końca wyglądać ten układ równań a właściwie czemu mają się dane linie równać. Pytanie, czemu tylko ostatnie pochodne są = 1 i czemu nie bierzemy np t_^{3} ? No, bo różne rozwiązania widziałem.


Ogólnie to dzięki, bo w sumie wiem jak już dokończyć.

ODPOWIEDZ