Zbieżność jednostajna szeregu

[Olka97]

Dany jest szereg potęgowy o środku w \(\displaystyle{ 0}\) i promieniu zbieżności\(\displaystyle{ R>0}\) .
W jakim zbiorze szereg ten jest na pewno zbieżny jednostajnie ?

Czy chodzi tutaj o kryterium Weierstrassa?

[bartek118]

Jest zbieżny jednostajnie na każdym zwartym odcinku zawartym w kole \(\displaystyle{ (-R, R)}\). Wynika to faktycznie z kryterium Weierstrassa.

[Olka97]

Jak to dokładnie matematycznie zapisać?

[bartek118]

Rozpatrzmy szereg
\(\displaystyle{ \sum a_n x^n}\)
o promieniu zbieżności \(\displaystyle{ R > 0}\), tzn. \(\displaystyle{ R = 1 / \limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|} > 0}\).

Czyli szereg jest bezwzględnie zbieżny w zbiorze \(\displaystyle{ (-R, R)}\). Ustalmy odcinek zwarty \(\displaystyle{ [a,b] \subset (-R, R)}\). Wówczas, jeśli \(\displaystyle{ x \in [a,b]}\), to \(\displaystyle{ |x| \leq M}\) , gdzie \(\displaystyle{ M = \max \{ |a|, |b| \}}\). Z zawierania \(\displaystyle{ [a,b] \subset (-R, R)}\) wynika, że \(\displaystyle{ M < R}\). Zatem
\(\displaystyle{ |a_n x^n| \leq |a_n M^n| = |a_n| M^n.}\)
Ponadto szereg
\(\displaystyle{ \sum |a_n| M^n}\)
jest zbieżny na mocy kryterium Cauchy'ego, gdyż
\(\displaystyle{ \limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n| M^n} = \frac{M}{R} < 1.}\)
Czyli z kryterium Weierstrassa szereg
\(\displaystyle{ \sum a_n x^n}\)
jest zbieżny jednostajnie na \(\displaystyle{ [a,b]}\).

[Olka97]

bartek118 Bardzo dziękuję za tak przejrzyste wytłumaczenie