układ różniczkowych

[sportowiec1993]

Mam do rozwiązania następujący układ równań:

\(\displaystyle{ \frac{ \mbox{d}A }{ \mbox{d}t} = -2A\ +\ B}\);
\(\displaystyle{ \frac{ \mbox{d}B }{ \mbox{d}t} = 2A\ - 3B}\);
\(\displaystyle{ \frac{ \mbox{d}C }{ \mbox{d}t} = 2 B}\)

Mam pytanie czy poniższy "kierunek" rozwiązywania powyższego równania jest poprawny,
czy jest np. jakiś inny (krótszy/lepszy) sposób?

Macierz współczynników tego równania:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}-2&1&0\\2&-3&0\\0&2&0\end{array}\right]}\),
jej wartości własne:
\(\displaystyle{ \left|\begin{array}{ccc}-2-\lambda&1&0\\2&-3-\lambda&0\\0&2&-\lambda\end{array}\right|\xrightarrow{C_{1}+2C_{2}} \left|\begin{array}{ccc}-\lambda&1&0\\-4-2\lambda&-3-\lambda&0\\4&2&-\lambda\end{array}\right|\xrightarrow{C_{1}+\lambda C_{2}}\left|\begin{array}{ccc}0&1&0\\-4-5\lambda -\lambda^{2}&-3-\lambda&0\\4+2\lambda&2&-\lambda\end{array}\right|}\) zatem:
\(\displaystyle{ \lambda \cdot \left( \lambda^{2} +5\lambda + 4\right)=0 \Rightarrow \lambda \cdot \left( \lambda+1\right) \cdot \left( \lambda+4\right) \Rightarrow \lambda =\left\{ -4,-1,0\right\}}\)

odpowiadające wektory własne:
dla \(\displaystyle{ \lambda_{1}=-4}\):
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} 2x+y=0\\2x+y=0\\2y+4z=0 \end{array} \rightarrow \begin{cases} y=-2x\\y=-2z\end{cases} \rightarrow \textbf{v}_{1} = t \cdot \left(\begin{array}{ccc}1\\-2\\1\end{array}\right)}\)

dla \(\displaystyle{ \lambda_{2}=-1}\):
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} -x+y=0\\2x-2y=0\\2y+z=0 \end{array} \rightarrow \begin{cases} y=x\\z=-2y\end{cases} \rightarrow \textbf{v}_{2} = t \cdot \left(\begin{array}{ccc}1\\1\\-2\end{array}\right)}\)

dla \(\displaystyle{ \lambda_{3}=0}\):
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} -2x+y=0\\2x-3y=0\\2y=0 \end{array} \rightarrow \textbf{v}_{3} = t \cdot \left(\begin{array}{ccc}0\\0\\1\end{array}\right)}\)

[janusz47]

Kierunek rozwiązania jest jak najbardziej poprawny.

Jest jeszcze mniej elegancka metoda podstawiania.

[Mariusz M]

Czy ja wiem czy mniej elegancka
Za to nieco bardziej ogólna i chyba jest nazywana metodą eliminacji

[janusz47]

Nie bardziej ogólna - bo nie dająca możliwość rozwiązania niektórych typów układu równań różniczkowych.

[sportowiec1993]

ok, dziękuję za pomoc

[Mariusz M]

W metodzie eliminacji współczynniki nie muszą być stałe tak jak w tej metodzie więc jednak
jest bardziej ogólna