Jak obliczyc stałą C?

[chrisdk]

Mam rownanie w postaci:
\(\displaystyle{ \frac{dy}{dx}-2xy=x}\)

Dochodze do punktu gdzie mam rozwiazanie w postaci:

\(\displaystyle{ {e^{-x}}^{2}y=-\frac{1}{2}{e^{-x}}^{2}+c}\)

dla \(\displaystyle{ y(1)=0}\)

W jaki sposob oblicze c? Po prostu podstawiam w ten sposob?

\(\displaystyle{ 0=\frac{-\frac{1}{2}{e^{-x}}^{2}+c}{{e^{-x}}^{2}}}\)

Dziekuje za pomoc.

[soku11]

Wyznaczasz funkcję y(x) i wtedy podstawiasz zgodnie z warunkami początkowymi:
\(\displaystyle{ e^{-x^2} y=-\frac{1}{2}e^{-x^2}+c\\
y=\frac{-\frac{1}{2}e^{-x^2}+c}{e^{-x^2}}\\
0=\frac{-\frac{1}{2}e^{-1}+c}{e^{-1}}\\}\)

Pozdrawiam.

[pepis]

\(\displaystyle{ \frac{dy}{dx}-2xy=x \\ \\
\frac{dy}{dx}=x(1+2y) \\ \\
\frac{dy}{1+2y}=xdx \\ \\
\frac{1}{2}ln|2y+1|=\frac{1}{2}x^{2}\\ \\
ln|2y+1|=x^{2}+C \\ \\
2y+1=e^{x^{2}+C} \\ \\
y=\frac{1}{2}e^{x^{2}+C}-\frac{1}{2} \\ \\ \\
\\
0=\frac{1}{2}e^{1^{2}+C}-\frac{1}{2} \\ \\
e^{C+1}=1 \\ \\
e^{C+1}=e^{0}\\ \\
C+1=0 \\ \\
C=(-1)}\)

[luka52]

Wyznaczasz funkcję y(x) (...)

Czasami jest to niemożliwe i imho lepiej od razu za \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) podstawić żądane wartości a na końcu wyliczyć stałą.

[chrisdk]

Niestety z tego co napisal soku11, wychodzi co innego, pepis, podal inne rozwiazanie. Moze zle rozwiazalem rownanie? W czym moze byc problem?

[juvex]

pepis prawie prawidłowo napisał rozwiązanie równania
bo wynik kńcowy powinien wyglądać tak:\(\displaystyle{ y=- \frac{1}{2} + e ^{x ^{2} } * C}\)

\(\displaystyle{ - \frac{1}{2}+ e ^{x ^{2} } * C = 0}\)
za x dajemy 1
\(\displaystyle{ - \frac{1}{2} + e * C =0}\)
\(\displaystyle{ C* e =\frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ C= \frac{1}{2e}}\)

[chrisdk]

Wrzucam wiec swoje rozwiazanie:

Przyjalem, ze rownanie ma postac: \(\displaystyle{ \frac{dy}{dx}+p(x) \cdot y(x)=q(x)}\)

Wybaczcie, ale nie wiem jak sie nazywa ta metoda po polsku (integrating factor):

\(\displaystyle{ I=e^{\int P(x)dx}}\)

\(\displaystyle{ I=e^{\int -2xdx}}\)

Mnoze obie czesci rownania przez I:

\(\displaystyle{ e^{{-x}^{2}}(\frac{dy}{dx}-2xy)=e^{{-x}^{2}}}\)

\(\displaystyle{ e^{{-x}^{2}}\frac{dy}{dx}-2xe^{{-x}^{2}}=x e^{{-x}^{2}}}\)

\(\displaystyle{ \int (e^{{-x}^{2}}\frac{dy}{dx}-2xe^{{-x}^{2}}y)dx=\int x e^{{-x}^{2}}}\)

\(\displaystyle{ (e^{{-x}^{2}} \cdot y)=\int x e^{{-x}^{2}}}\)

Integrujemy metoda substytucji:

\(\displaystyle{ u=-x^{2}}\),
\(\displaystyle{ du=-2xdx}\),
\(\displaystyle{ -\frac{1}{2}du=xdx}\)

\(\displaystyle{ (e^{{-x}^{2}} \cdot y)=-\frac{1}{2}\int e^{u}du}\)

\(\displaystyle{ e^{{-x}^{2}} y=-\frac{1}{2}e^{{-x}^{2}}+c}\)

Bede wdzieczny, jesli ktos na to spojrzy:)