Nierówność trygonometryczna

[85213]

Wykaż, że dla każdego \(\displaystyle{ n \in N ^{+}}\) zachodzi nierówność \(\displaystyle{ \left )|\cos(n \alpha)-\cos(n \beta ) \right| \le n ^{2}\left|\cos( \alpha )-\cos( \beta ) \right|}\), gdzie \(\displaystyle{ \alpha , \beta \in R}\)
Ze wzorów na różnice cosinusów doszedłem do tego, że \(\displaystyle{ \left| \sin \frac{n( \alpha + \beta)}{2} \right| \cdot \left| \sin \frac{n( \alpha - \beta }{2} )\right| \le n \left| \sin\frac{\alpha + \beta }{2} \right|n\left| \sin \frac{ \alpha - \beta }{2} \right|}\)
Co z tym zrobić, żeby jasno wynikało, że nierówność jest prawdziwa?

[a4karo]

A potrafisz uzasadnić tę nierówność, z której skorzystałeś, tzn że \(\displaystyle{ |\sin nx|\leq n|\sin x|}\) ?

Bo jak to zrobisz, to ze wzoru na różnicę kosinusów wyniknie teza.

[Premislav]

21115.htm

[85213]

A potrafisz uzasadnić tę nierówność, z której skorzystałeś, tzn że \(\displaystyle{ |\sin nx|\leq n|\sin x|}\) ?

Bo jak to zrobisz, to ze wzoru na różnicę kosinusów wyniknie teza.

Właśnie problem polega na tym, że nie wiem jak to udowodnić.
Dzięki Premislav.