Norma funkcjonału

[Bartom]

Chciałem się dowiedzieć, czy dobrze robię poniższe zadanie:

Wyznaczyć normę funkcjonału \(\displaystyle{ f \in c_{0}^{*}}\), gdy: \(\displaystyle{ f(x _{1}, x_{2},...)=2x_{1}-x_{2}-2x_{3}.}\)


A więc na początek liczę moduł z funkcjonału dla dowolnego \(\displaystyle{ x_{n} \in c_{0}}\), wychodzi mi
\(\displaystyle{ \left| \left| x_{n}\right| \right| \sum_{k=1}^{ \infty } \left| a_{k}\right|}\)
gdzie \(\displaystyle{ a_{k}=\begin{cases} 2 &\text{dla } k =1\\-1&\text{dla } k=2\\-2&\text{dla } k=3\\0&\text{dla } k \ge 4\end{cases}}\).

Stąd wynika, że \(\displaystyle{ \left| \left| f\right| \right| \le 5}\)

Nastęnie szukam takiego \(\displaystyle{ y_{k}}\), że \(\displaystyle{ \left| \left| y_{k}\right| \right|=1}\)
oraz \(\displaystyle{ f(y_{k})= \sum_{k=1}^{ \infty }a_{k}=5}\)

Niech \(\displaystyle{ y_{k}=\begin{cases} 1 &\text{dla } k =1\\-1&\text{dla } k=2,3\\0&\text{dla } k \ge 4\end{cases}}\)

Wówczas \(\displaystyle{ \left| \left| y_{k}=1\right| \right|}\) (metryka supremum)

oraz \(\displaystyle{ f(y_{k})=2*1-1*(-1)-2*(-1)=2+1+2=5}\)

Zatem a podstawie twierdzenia (...)

\(\displaystyle{ \left| \left| f\right| \right|=5}\)

Czy to jest dobrze?

Pozdrawiam

[Spektralny]

Dobrze. Takie zadania łatwo samemu sprawdzić. Istotnie, przestrzeń sprzężona do \(\displaystyle{ c_0}\) jest izometrycznie izomorficzna z \(\displaystyle{ \ell_1}\) poprzez

• \(\displaystyle{ \langle x, y \rangle = \sum_{n=1}^\infty x_ny_n\;\;\;\big(x=(x_n)_{n=1}^\infty\in c_0,\; y=(y_n)_{n=1}^\infty\in \ell_1\big).}\)

W Twoim przypadku, \(\displaystyle{ y = (2, -1, -2, 0, 0, \ldots)}\); norma tego wektora w \(\displaystyle{ \ell_1}\) wynosi \(\displaystyle{ |2| +|-1| + |-2|= 5}\).

[Bartom]

Super, dzięki