Przekształcenie iloczynu

[Karolina93]

Hej Mam problem, mianowicie nie wiem w jaki sposób wynika poniższa równość? Skąd wzięła się ta 3 przed nawiasem i dlaczego zmienił się wzór iloczynu? Czy ktoś mógłby mi pomóc to wyjaśnić, lub napisać jakie przekształcenia wykonano?

\(\displaystyle{ \prod_{k=2}^{2001} \frac{(k-1)(k+1)}{k^{2}}=3\left[\prod_{k=2}^{2000} \frac{k(k+2)}{k^{2}}\right] \cdot \frac{1}{2001^{2}}}\)

[a4karo]

LIcznik lewej strony to
\(\displaystyle{ 1\cdot 3\cdot 2\cdot 4\cdot 3\cdot5\cdot 4\cdot 6\dots1999\cdot2001\cdot 2000\cdot 2002}\).

A prawej???

[Premislav]

Nietrudno udowodnić indukcyjnie, że
\(\displaystyle{ \prod_{k=2}^{n} \frac{(k-1)(k+1)}{k^{2}}=\frac{1}{2}\cdot \frac{n+1}{n}}\)
dla \(\displaystyle{ n>2}\),
bo ten iloczyn się w prosty sposób teleskopuje (można popatrzeć na iloczyn trzech kolejnych czynników).
Poza tym \(\displaystyle{ \prod_{k=2}^{n} \frac{k(k+2)}{k^2}}\) to jest z dokładnością do jakiegoś czynnika iloraz silni podwójnych, np. \(\displaystyle{ \prod_{k=2}^{2000} \frac{k(k+2)}{k^2} =\frac{1}{2}\cdot \frac{(2002)!!}{(2000)!!}=1001}\)
Ale pomysł a4karo jest prostszy.