Równanie różniczkowe zwyczajne i funkcje bazowe

Równania różniczkowe i całkowe. Równania różnicowe. Transformata Laplace'a i Fouriera oraz ich zastosowanie w równaniach różniczkowych.
suchmar
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 20 sty 2018, o 00:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa

Równanie różniczkowe zwyczajne i funkcje bazowe

Post autor: suchmar » 20 sty 2018, o 00:36

Witam. Czy mógłby ktoś mi to wytłumaczyć?

Mam równanie różniczkowe:
\(\displaystyle{ f^{\!\mbox{\tiny\textit{ IV}}}+2f^{\!\mbox{\tiny\textit{ II}}}+f=0}\)
Przy podstawieniu:
\(\displaystyle{ f(\varphi)=e^k^\varphi}\)

\(\displaystyle{ k^4+2k^2+1=0 \\ (k^2+1)^2=0}\)

Pierwiastki są następujące:
\(\displaystyle{ k_{1,2}=\pm 0 \\ k_{3,4}=\pm 0}\)

Więc funkcjami bazowymi równania różniczkowego są funkcje (pytanie: skąd to wynika)?:
\(\displaystyle{ e^{i\varphi};\ e^{-i\varphi};\ \varphi e^{i\varphi};\ \varphi e^{-i\varphi}}\)

A po wykorzystaniu trygonometrycznej postaci funkcji zespolonych (tzn. jak to przekształcić?) uzyskuję bazę:

\(\displaystyle{ \sin\varphi;\ \cos\varphi;\ \varphi\sin\varphi;\ \varphi\cos\varphi}\)

Wyprowadzi to i przekształci jakaś dobra dusza tak, żeby nawet blondynka zrozumiała? Z góry dziękuję!
Ostatnio zmieniony 20 sty 2018, o 02:54 przez SlotaWoj, łącznie zmieniany 3 razy.
Powód: Poprawa wiadomości. Nie używaj Caps Locka. Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5027
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Pomógł: 1104 razy

Równanie różniczkowe zwyczajne i funkcje bazowe

Post autor: janusz47 » 20 sty 2018, o 13:38

\(\displaystyle{ y^{(4)}+ 2y^{(2)} + 1 = 0}\) (0)

\(\displaystyle{ k_{1,2}=\pm i}\)

\(\displaystyle{ k_{3,4} =\pm i}\)

Zgodnie z podstawieniem otrzymujemy układ czterech funkcji:

\(\displaystyle{ f_{1}(\phi)= e^{-i\phi}, \ \ f_{2}(\phi)= e^{i\phi},\ \ f_{3}(\phi)= e^{-i\phi},\ \ f_{4}(\phi)= e^{i\phi}}\) (1)

Z tych funkcji i ich pochodnych (do rzędu III włącznie) tworzymy wyznacznik (Wrońskian)

\(\displaystyle{ W= \left| \begin{matrix} f_{1}(\phi)&f_{2}(\phi)&f_{3}(\phi)&f_{4}(\phi)\\ f'_{1}(\phi)&f'_{2}(\phi)&f'_{3}(\phi)&f'_{4}(\phi)\\ f^{''}_{1}(\phi)&f^{''}_{2}(\phi)&f^{''}_{3}(x)&f^{''}_{3}(\phi)\\ f{^{(3)}_{1}(\phi)&f^{(3)}_{2}(\phi)&f^{(3)}_{3}(\phi)&f^{(3)}_{4}(\phi) \end{matrix}\right|}\)

Badamy znak tego wyznacznika.

Jeżeli \(\displaystyle{ W\neq 0,}\) to układ funkcji (1) jest liniowo niezależny i nazywamy go układem funkcji bazowych (całkami szczególnymi) równania (0).

Twierdzenie

Jeżeli funkcje (1) są funkcjami bazowymi równania (0) na przedziale \(\displaystyle{ P}\) oraz \(\displaystyle{ C_{1}, C_{2}, C_{3}, C_{4}}\) są dowolnymi stałymi, to funkcja:

\(\displaystyle{ f(x) = C_{1}\cdot f_{1}(\phi)+C_{2}\cdot f_{2}(\phi)+C_{3}\cdot f_{3}(\phi)+C_{4}\cdot f_{4}(\phi)}\)

jest także rozwiązaniem tego równania.

Ze wzoru Eulera otrzymujemy układ równań:

\(\displaystyle{ \begin{cases}e^{i\phi} = \cos(\phi) + i\sin(\phi)\\ e^{-i\phi}=\cos(\phi) - i\sin(\phi) \end{cases}\right.}\)

z którego wynika, że funkcje:

\(\displaystyle{ \cos(\phi) =\frac{e^{-i\phi}+e^{i\phi}}{2}}\)

\(\displaystyle{ \sin(\phi) = \frac{e^{-i\phi}-e^{i\phi}}{2i}}\)

oraz

\(\displaystyle{ \phi\cdot \sin(\phi), \ \ \phi\cdot \cos(\phi)}\)

są funkcjami bazowymi.

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16836
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 2829 razy

Re: Równanie różniczkowe zwyczajne i funkcje bazowe

Post autor: a4karo » 20 sty 2018, o 13:48

Słabe to twierdzenie, bo tu akurat te funkcje są liniowo zależne.

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5027
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Pomógł: 1104 razy

Re: Równanie różniczkowe zwyczajne i funkcje bazowe

Post autor: janusz47 » 20 sty 2018, o 14:06

Rozwiązaniem ogólnym równania (0) jest funkcja:

\(\displaystyle{ f(x) = C_{1} \cos(\phi) +C_{2} \sin(\phi) + C_{3} \phi\sin(\phi) +C_{4} \phi\cos(\phi).}\)

SlotaWoj
Moderator
Moderator
Posty: 4211
Rejestracja: 25 maja 2012, o 21:33
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków PL
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 757 razy

Równanie różniczkowe zwyczajne i funkcje bazowe

Post autor: SlotaWoj » 23 sty 2018, o 21:31

A4karo zasygnalizował błąd, ale Janusz47 nie zareagował.
janusz47 pisze:\(\displaystyle{ f_{1}(\phi)= e^{-i\phi}, \ \ f_{2}(\phi)= e^{i\phi},\ \ f_{3}(\phi)= e^{-i\phi},\ \ f_{4}(\phi)= e^{i\phi}}\) (1)
Powinno być:
  • \(\displaystyle{ \newrgbcolor{dg}{0 0.4 0}f_{1}(\phi)=e^{-i\phi},\ f_{2}(\phi)=e^{i\phi},\ f_{3}(\phi)={\dg{\phi}}e^{-i\phi},\ f_{4}(\phi)={\dg{\phi}}e^{i\phi}}\)

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5027
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Pomógł: 1104 razy

Re: Równanie różniczkowe zwyczajne i funkcje bazowe

Post autor: janusz47 » 24 sty 2018, o 19:03

Otrzymaliśmy dwie pary powtarzających się pierwiastków równania charakterystycznego dla równania różniczkowego rzędu IV - jednorodnego:

\(\displaystyle{ f_{1}(\phi)=e^{i\phi}, \ \ f_{2}(\phi)=e^{i \phi},\ \ f_{3}(\phi) = e^{-i \phi}, \ \ f_{4}(\phi) = e^{-i \phi}.}\)

Odpowiadający im wyznacznik Wrońskiego:

\(\displaystyle{ \left|\begin{matrix} e^{i\phi}&e^{i \phi}&e^{-i \phi}&e^{-i \phi}\\ i\phi e^{i\phi}&i\phi e^{i \phi}&-i\phi e^{-i \phi}&-i\phi e^{-i\phi}\\-\phi^2 e^{i\phi}&-\phi^2 e^{i \phi}&-\phi^2e^{-i \phi}&-\phi^2 e^{-i\phi}\\- i \phi^3 e^{i\phi}&-i \phi^3 e^{i \phi}& i \phi^3 e^{-i \phi}& i \phi^3 e^{-i \phi}\end{matrix}\right|}\)

jest wyznacznikiem \(\displaystyle{ 4\times 4}\) - równym od zeru (proszę sprawdzić !)

Oznacza to, że układ funkcji ze względu na zmienną \(\displaystyle{ \phi}\) tworzy układ liniowo zależny w przestrzeni wektorowej \(\displaystyle{ C^{4}.}\)

Ponieważ pierwiastki równania charakterystycznego powtarzają, się, więc jego rzeczywistym rozwiązaniem bazowym jest układ czterech funkcji:

\(\displaystyle{ g_{1}(\phi)= \cos(\phi),\ \ g_{2}=\phi\cdot (\cos(\phi),\ \ g_{3}(\phi)= \sin(\phi), \ \ g_{4}(\phi)= \phi\cdot \sin(\phi)}\)

a rozwiązanie ogólne jest w postaci:

\(\displaystyle{ y= C_{1}\cos(\phi)+C_{2}\phi\cdot (\cos(\phi)+ C_{3} \sin(\phi)+ C_{4}\phi\cdot \sin(\phi).}\)
Ostatnio zmieniony 25 sty 2018, o 10:08 przez janusz47, łącznie zmieniany 1 raz.

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16836
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 2829 razy

Re: Równanie różniczkowe zwyczajne i funkcje bazowe

Post autor: a4karo » 24 sty 2018, o 20:20

janusz47, a możesz wyjaśnić które z podanych przez Ciebie rozumowań jest prawidłowe? I dlaczego? Bo podałeś dwa różne, bez żadnego komentarza. A może tak po prostu sobie piszesz, co wpadnie pod klawiaturę?-- 24 sty 2018, o 20:24 --
janusz47 pisze:Otrzymaliśmy dwie pary powtarzających się pierwiastków równania charakterystycznego dla równania różniczkowego rzędu IV - jednorodnego:

\(\displaystyle{ f_{1}(\phi)=e^{i\phi}, \ \ f_{2}(\phi)=e^{i \phi},\ \ f_{3}(\phi) = e^{-i \phi}, \ \ f_{4}(\phi) = e^{-i \phi}.}\)

Odpowiadający im wyznacznik Wrońskiego:

\(\displaystyle{ \left|\begin{matrix} e^{i\phi}&e^{i \phi}&e^{-i \phi}&e^{-i \phi}\\ i\phi e^{i\phi}&i\phi e^{i \phi}&-i\phi e^{-i \phi}&-i\phi e^{-i\phi}\\-\phi^2 e^{i\phi}&-\phi^2 e^{i \phi}&-\phi^2e^{-i \phi}&-\phi^2 e^{-i\phi}\\- i \phi^3 e^{i\phi}&-i \phi^3 e^{i \phi}& i \phi^3 e^{-i \phi}& i \phi^3 e^{-i \phi}\end{matrix}\right|}\)

jest wyznacznikiem \(\displaystyle{ 4\times 4}\) - różnym od zera (proszę sprawdzić !)
Trzeci wiersz powstaje z pomnożenia pierwszego przez \(\displaystyle{ -\phi^2}\), wiec pewnie jednak jest zerowy

ODPOWIEDZ