Dzień dobry!
Mógłbym prosić o "schemat" rozwiązywania zadań tego typu:
1/ \(\displaystyle{ \sqrt{x-3} + \sqrt{1-x} > \sqrt{8x-5}}\)
2/ \(\displaystyle{ \sqrt{x-4+4 \sqrt{x-8} } - \sqrt{x-7+2 \sqrt{x-8} }=1}\)
Wiadomo, że trzeba wyznaczyć dziedzinę każdego pierwiastka. Ale czy należy rozpisywać na wszystkie przypadki (czy x jest < lub > od 0)?
Równania i nierówności z pierwiastkami
-
- Użytkownik
- Posty: 10
- Rejestracja: 14 gru 2017, o 19:42
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdańsk
Re: Równania i nierówności z pierwiastkami
zadanie 1. jest sprzeczne, \(\displaystyle{ x>3 \wedge x<1}\)
jesli chodzi o zadanie 2. wyznacz dziedzinę i zaczynaj podnoszenie do kwadratu, potem przenieś pierwiastek który pozostał na jedną stronę, i z powrotem do kwadratu. Rozwiązania muszą zawierać się w dziedzinie którą wyznaczyłeś na samym początku.
jesli chodzi o zadanie 2. wyznacz dziedzinę i zaczynaj podnoszenie do kwadratu, potem przenieś pierwiastek który pozostał na jedną stronę, i z powrotem do kwadratu. Rozwiązania muszą zawierać się w dziedzinie którą wyznaczyłeś na samym początku.
Re: Równania i nierówności z pierwiastkami
A co gdyby nie było sprzeczności w przykładzie?rubiccube713 pisze:zadanie 1. jest sprzeczne, \(\displaystyle{ x>3 \wedge x<1}\)
jesli chodzi o zadanie 2. wyznacz dziedzinę i zaczynaj podnoszenie do kwadratu, potem przenieś pierwiastek który pozostał na jedną stronę, i z powrotem do kwadratu. Rozwiązania muszą zawierać się w dziedzinie którą wyznaczyłeś na samym początku.
Mogę od razu podnosić do kwadratu czy muszę na coś uważać czy coś założyć?
-
- Użytkownik
- Posty: 10
- Rejestracja: 14 gru 2017, o 19:42
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdańsk
Równania i nierówności z pierwiastkami
raczej "schemat" rozwiązywania nierówności z nieparzystą ilością pierwiastków różnych od 1 jest dosyć nieintuicyjny i nic Ci by nie dało. Zamień \(\displaystyle{ \sqrt{1-x}}\) na \(\displaystyle{ \sqrt{x-1}}\) jeśli chcesz się pozbyć sprzeczności, i spróbuj rozwiązać. Jakbyś miał jakieś trudności postaram się je rozwiać.wojti99 pisze: A co gdyby nie było sprzeczności w przykładzie?
Co do założeń, trzymaj się dziedziny naturalnej przed przekształceniami.
-
- Użytkownik
- Posty: 23495
- Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: piaski
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 3264 razy
Re: Równania i nierówności z pierwiastkami
2) Dziedzina (gdyby nie poniższy sposób to bym jej nie wyznaczał - analiza starożytnych).
Z krótkiego pierwiastka \(\displaystyle{ x\ge 8}\) (i po wszystkim, bo wtedy zawartości długich pierwiastków są dodatnie)
Podstawiam \(\displaystyle{ x-8=t}\)
Otrzymuję \(\displaystyle{ \sqrt {(\sqrt t +2)^2}-\sqrt{(\sqrt t +1)^2}=1}\)
Czyli \(\displaystyle{ |\sqrt t + 2|-|\sqrt t + 1|=1}\) (ale pierwiastek jest nieujemny - z dziedziny to wiemy)
Zatem ...
Z krótkiego pierwiastka \(\displaystyle{ x\ge 8}\) (i po wszystkim, bo wtedy zawartości długich pierwiastków są dodatnie)
Podstawiam \(\displaystyle{ x-8=t}\)
Otrzymuję \(\displaystyle{ \sqrt {(\sqrt t +2)^2}-\sqrt{(\sqrt t +1)^2}=1}\)
Czyli \(\displaystyle{ |\sqrt t + 2|-|\sqrt t + 1|=1}\) (ale pierwiastek jest nieujemny - z dziedziny to wiemy)
Zatem ...