Równania i nierówności z pierwiastkami

[wojti99]

Dzień dobry!
Mógłbym prosić o "schemat" rozwiązywania zadań tego typu:
1/ \(\displaystyle{ \sqrt{x-3} + \sqrt{1-x} > \sqrt{8x-5}}\)
2/ \(\displaystyle{ \sqrt{x-4+4 \sqrt{x-8} } - \sqrt{x-7+2 \sqrt{x-8} }=1}\)
Wiadomo, że trzeba wyznaczyć dziedzinę każdego pierwiastka. Ale czy należy rozpisywać na wszystkie przypadki (czy x jest < lub > od 0)?

[rubiccube713]

zadanie 1. jest sprzeczne, \(\displaystyle{ x>3 \wedge x<1}\)
jesli chodzi o zadanie 2. wyznacz dziedzinę i zaczynaj podnoszenie do kwadratu, potem przenieś pierwiastek który pozostał na jedną stronę, i z powrotem do kwadratu. Rozwiązania muszą zawierać się w dziedzinie którą wyznaczyłeś na samym początku.

[wojti99]

zadanie 1. jest sprzeczne, \(\displaystyle{ x>3 \wedge x<1}\)
jesli chodzi o zadanie 2. wyznacz dziedzinę i zaczynaj podnoszenie do kwadratu, potem przenieś pierwiastek który pozostał na jedną stronę, i z powrotem do kwadratu. Rozwiązania muszą zawierać się w dziedzinie którą wyznaczyłeś na samym początku.

A co gdyby nie było sprzeczności w przykładzie?

Mogę od razu podnosić do kwadratu czy muszę na coś uważać czy coś założyć?

[rubiccube713]

A co gdyby nie było sprzeczności w przykładzie?

raczej "schemat" rozwiązywania nierówności z nieparzystą ilością pierwiastków różnych od 1 jest dosyć nieintuicyjny i nic Ci by nie dało. Zamień \(\displaystyle{ \sqrt{1-x}}\) na \(\displaystyle{ \sqrt{x-1}}\) jeśli chcesz się pozbyć sprzeczności, i spróbuj rozwiązać. Jakbyś miał jakieś trudności postaram się je rozwiać.

Co do założeń, trzymaj się dziedziny naturalnej przed przekształceniami.

[piasek101]

2) Dziedzina (gdyby nie poniższy sposób to bym jej nie wyznaczał - analiza starożytnych).

Z krótkiego pierwiastka \(\displaystyle{ x\ge 8}\) (i po wszystkim, bo wtedy zawartości długich pierwiastków są dodatnie)

Podstawiam \(\displaystyle{ x-8=t}\)

Otrzymuję \(\displaystyle{ \sqrt {(\sqrt t +2)^2}-\sqrt{(\sqrt t +1)^2}=1}\)

Czyli \(\displaystyle{ |\sqrt t + 2|-|\sqrt t + 1|=1}\) (ale pierwiastek jest nieujemny - z dziedziny to wiemy)

Zatem ...