Funkcja kwadratowa z parametrem.

[Szakul1]

Funkcja kwadratowa \(\displaystyle{ f\left( x\right)= \left( 2m-1\right) x^{2} -2\left( m+1\right)x + m-1}\) ma dwa różne miejsca zerowe \(\displaystyle{ x_{1} ,x _{2}}\). Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których odległość między miejscami zerowymi wynosi nie więcej niż 4.

No to wiadome, że:
\(\displaystyle{ a \neq 0}\)
\(\displaystyle{ \Delta > 0}\)
Ale interesuje mnie trzeci warunek. Pomyślałem sobie, że może być np. \(\displaystyle{ \left| x _{1}-x _{2} \right|\le 4}\) ale rozwiązując tę nierówność dochodzę do jakiś dziwnych przekształceń w których muszę rozpatrywać kilka przypadków. Czy powinno być jakieś inne założenie czy też jest jakiś prostszy sposób na rozwiązanie tego?

[Premislav]

Ta odległość wynosi
\(\displaystyle{ \frac{\sqrt{\Delta}}{a}= \frac{\sqrt{4(m+1)^2-4(2m-1)(m-1)}}{2m-1}=\\= \frac{\sqrt{20m-4m^2}}{2m-1}=2 \frac{\sqrt{5m-m^2}}{2m-1}}\),
co łatwo widać ze wzorów na pierwiastki trójmianu kwadratowego. Niestety takie brzydkie bywają zadania z funkcji kwadratowych z parametrem, nawalanie przekształceń i przypadków.

A przypadki ja tu widzę dwa: albo \(\displaystyle{ 2m-1>0}\), albo \(\displaystyle{ 2m-1<0}\).

[Szakul1]

Jeszcze takie pytanie. Czy ta odległość nie powinna być pod wartością bezwzględną?

[Premislav]

Ups, cholera, faktycznie, \(\displaystyle{ \left| \frac{\sqrt{\Delta}}{a}\right|}\). Ale licznik jest nieujemny, więc przypadki będą takie, jak napisałem.-- 19 sty 2018, o 00:15 --Tylko pamiętaj jeszcze oczywiście o tych warunkach na \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ \Delta}\), które napisałeś w pierwszym poście.

[Szakul1]

Jeśli się najpierw rozpatrzy te przypadki pod wartością bezwzględną to faktycznie wychodzą tylko dwa. Ja wcześniej najpierw pozbywałem się wartości bezwzględnej i dopiero potem rozpatrywałem te przypadki i zamiast 2 musiałem rozważyć 4. Teraz to znacznie prościej. Dziękuję za pomoc

[TheBill]

\(\displaystyle{ \left| x _{1}-x _{2} \right|\le 4}\)
Można też podnieść do kwadratu.