równoliczność zbiorów

[monikap7]

Wykaż równoliczność \(\displaystyle{ \NN \cup (\NN \times \NN) \sim \ZZ}\) i skonstruuj odpowiednią bijekcję.

[Jan Kraszewski]

Znasz wzór na bijekcję \(\displaystyle{ f:\NN\times\NN\to\NN}\) ? Jak złożysz tę funkcję z dość oczywistą bijekcją \(\displaystyle{ g:\NN\to\ZZ\setminus\NN}\), to suma (mnogościowa) funkcji \(\displaystyle{ g\circ f}\) i \(\displaystyle{ \mbox{id}_\NN}\) jest szukaną bijekcją.

JK

[monikap7]

Dziękuję za odpowiedz.
A gdzie znajdę te bijekcje? Szukam, szukam, ale ciężko.

-- 18 stycznia 2018, 19:22 --

Czy jest jakiś wykaz (w jakiejś książce) i przykłady bijekcji?

[Jan Kraszewski]

Dwa podstawowe przykłady (oczywiście zakładamy, że \(\displaystyle{ 0\in\NN}\)):

\(\displaystyle{ f_1(n,k)=\frac{(n+k)(n+k+1)}{2}+n}\)

\(\displaystyle{ f_2(n,k)=2^n(2k+1)-1}\)

JK

[monikap7]

Czyli mam rozumiec, że pierwsza jest przykladem pierwszej bijekcji, a druga drugiej? i teraz mam zrobic złozenie tych funkcji?

[Jan Kraszewski]

Czyli mam rozumiec, że pierwsza jest przykladem pierwszej bijekcji, a druga drugiej? i teraz mam zrobic złozenie tych funkcji?

Bardzo źle rozumiesz. Zastanów się chwilę - to co napisałaś nie ma sensu.

JK

[monikap7]

Znasz wzór na bijekcję \(\displaystyle{ f:\NN\times\NN\to\NN}\) ? Jak złożysz tę funkcję z dość oczywistą bijekcją \(\displaystyle{ g:\NN\to\ZZ\setminus\NN}\), to suma (mnogościowa) funkcji \(\displaystyle{ g\circ f}\) i \(\displaystyle{ \mbox{id}_\NN}\) jest szukaną bijekcją.

JK

to w takim razie co oznacza to: suma (mnogościowa) funkcji \(\displaystyle{ g\circ f}\) i \(\displaystyle{ \mbox{id}_\NN}\) jest szukaną bijekcją?

-- 19 stycznia 2018, 10:18 --

Dwa podstawowe przykłady (oczywiście zakładamy, że \(\displaystyle{ 0\in\NN}\)):

\(\displaystyle{ f_1(n,k)=\frac{(n+k)(n+k+1)}{2}+n}\)

\(\displaystyle{ f_2(n,k)=2^n(2k+1)-1}\)

JK

te przykłady są wzorami na bijekcję \(\displaystyle{ f:\NN\times\NN\to\NN}\) oraz \(\displaystyle{ g:\NN\to\ZZ\setminus\NN}\)?

-- 19 stycznia 2018, 10:24 --

Skąd mam wiedziec jakie są wzory tych funkcji? ja mam to za kazdym razem wymyslac? Przeciez to nie do wykonania:(

[Jan Kraszewski]

to w takim razie co oznacza to: suma (mnogościowa) funkcji \(\displaystyle{ g\circ f}\) i \(\displaystyle{ \mbox{id}_\NN}\) jest szukaną bijekcją?

Dokładnie to, co napisałem: szukaną funkcją jest \(\displaystyle{ h=f\cup g}\).

Funkcje są zbiorami i można je dodawać. Inaczej można opisać tę konstrukcję tak: jeśli \(\displaystyle{ f:A\to C, g:B\to C}\) i \(\displaystyle{ A\cap B=\emptyset}\), to możemy zdefiniować funkcję \(\displaystyle{ h:A\cup B\to C}\) wzorem

\(\displaystyle{ h(x)= \begin{cases} f(x)&\mbox{gdy } x\in A \\ g(x)&\mbox{gdy } x\in B \end{cases}}\)

Wtedy \(\displaystyle{ h=f'\cup g}\).

Dwa podstawowe przykłady (oczywiście zakładamy, że \(\displaystyle{ 0\in\NN}\)):

\(\displaystyle{ f_1(n,k)=\frac{(n+k)(n+k+1)}{2}+n}\)

\(\displaystyle{ f_2(n,k)=2^n(2k+1)-1}\)

te przykłady są wzorami na bijekcję \(\displaystyle{ f:\NN\times\NN\to\NN}\) oraz \(\displaystyle{ g:\NN\to\ZZ\setminus\NN}\)?

Jeżeli piszesz takie rzeczy, to znaczy, że zupełnie nie umiesz czytać i rozumieć zapisów matematycznych. Przecież to są dwie funkcje dwóch zmiennych!

Podałem Ci dwa przykłady bijekcji \(\displaystyle{ f:\NN\times\NN\to\NN}\), bo narzekałaś, że ich nie znasz i nie potrafisz nigdzie znaleźć. Jeżeli nie umiesz sama wskazać bijekcji \(\displaystyle{ g:\NN\to\ZZ\setminus\NN}\) to znaczy, że chyba w ogóle nie rozumiesz, co to jest bijekcja.

Skąd mam wiedziec jakie są wzory tych funkcji?

Jakich TYCH ?

ja mam to za kazdym razem wymyslac? Przeciez to nie do wykonania:(

Tak, masz to wymyślać. Tak, jeżeli Twój poziom zrozumienia tematu jest na obecnym poziomie, to jest to zapewne istotnie nie do wykonania. Jest tylko jedno wyjście - nauczyć się tego materiału i zrozumieć go. Tak to działa.

JK

[Premislav]

Przy czym dla mnie ten pomysł z \(\displaystyle{ f_2(n,k)=2^n(2k+1)-1}\) jest bardzo naturalny, a ten pierwszy (tzw. funkcja pary Cantora) znam tylko z literatury (chyba akurat dokładnie z książki Pana JK) i też uważam, że coś takiego rzeczywiście jest nie do wymyślenia, chyba że przez osoby o nieprzeciętnej błyskotliwości. No ale wiele jest w matematyce tricków wymyślonych przez mądrzejszych od nas, które po prostu warto poznać i przyswoić. Jedna sprawa to nieznajomość takich tricków, inna sprawa to nierozumienie pojęcia bijekcji po ~10 latach styczności z matematyką akademicką (chyba że to konto przejęła inna osoba). No offence, może matematyka to nie jest dla Ciebie najlepszy wybór.

[Jan Kraszewski]

a ten pierwszy (tzw. funkcja pary Cantora) znam tylko z literatury (chyba akurat dokładnie z książki Pana JK) i też uważam, że coś takiego rzeczywiście jest nie do wymyślenia,

Zaletą tego pierwszego jest to, że jest łatwo go narysować. I o ile nie jestem zdziwiony, że ktoś nie umie wymyślić bijekcji z \(\displaystyle{ \NN\times\NN}\) na \(\displaystyle{ \NN}\) - takie rzeczy powinno poznawać się na wykładzie - to pozostałe rzeczy jednak mnie dziwią.

JK

[monikap7]

Dziekuje za cenne uwagi...
Skoro już jakims cudem mamy bijekcje to teraz mamy sprawdzic równolicznosc?

[bartek118]

Dziekuje za cenne uwagi...
Skoro już jakims cudem mamy bijekcje to teraz mamy sprawdzic równolicznosc?

A jaka jest definicja równoliczności?

[monikap7]

wystarczy sprawdzic róznowartościowość?

[bartek118]

wystarczy sprawdzic róznowartościowość?

Najwidoczniej faktycznie nie wiesz, o czym mówisz.

Jeszcze raz - jaka jest definicja równoliczności zbiorów?

[monikap7]

Mówimy, że zbiory \(\displaystyle{ $A$ i $B$}\) są równoliczne (symbolicznie: \(\displaystyle{ $A\sim B$}\)), gdy istnieje bijekcja \(\displaystyle{ $f:A\to B$}\).