Sprawdzenie granicy - twierdzenie Stolza

[Maslow]

Do policzenia taka granica:
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to+ \infty }\frac{ \sqrt[4]{1}+...+ \sqrt[4]{n^4+1} }{n}}\)

Zastosowałam twierdzenie Stolza:

\(\displaystyle{ \lim_{ n\to+ \infty }\frac{ \sqrt[4]{1}+...+ \sqrt[4]{n^4+1} }{n}=\lim_{ n\to+ \infty } \sqrt[4]{n^4+1}=+ \infty}\)

Rozwiązałam to zadanie w jednej linijce, a było za nie do zdobycia aż dziesięć punktów...
Czy to jest dobrze rozwiązane ?

[szw1710]

Dla mnie nie jest w ogóle jasna postać tej sumy.

[Maslow]

Dla mnie też nie, ale tak zadanie było sformułowane na kolokwium. Nie zrobiłam go, tylko strzeliłam że granica ma być równa plus nieskończoność i za to dostałam jeden punkt. Będę to kolokwium poprawiać, więc próbuję ogarnąć to zadanie, na razie jedyne rozwiązanie na jakie wpadłam to te z tw. Stolza, co ma sens bo to ulubione twierdzenie naszego profesora jeżeli chodzi o ciągi.

[Jan Kraszewski]

Dla mnie też nie, ale tak zadanie było sformułowane na kolokwium.

Tak na pewno nie było sformułowane. Co najwyżej tak:

\(\displaystyle{ \lim_{ n\to+ \infty }\frac{ \sqrt[4]{1}+...+ \sqrt[4]{n^4+1} }{n}=}\)

JK

[Richard del Ferro]

Wydaje mi się, że trzeba zinterpretować te sumę od drugiej w strony t.j.

\(\displaystyle{ S= \sqrt[4]{n^4+1} + \sqrt[4]{(n-1)^4+1} + \sqrt[4]{(n-2)^4+1} + ... + \sqrt[4]{1^4+1} + \sqrt[4]{0^4+1}}\)

t.j. istnieje wyraz ciągu \(\displaystyle{ ({a_{n}})}\) taki, że \(\displaystyle{ a_{0}}\) .

Ale mogę się mylić.

Wtedy ze Stolza mamy:

\(\displaystyle{ \sqrt[4]{n^4+1} - \sqrt[4]{(n-1)^4+1}}\)

A to trzeba robić przez sprzężenia.

@edit

Rzeczywiście masz racje, nie może być \(\displaystyle{ n=0}\) , więc wzór jawny jest imho błędny.

[Maslow]

No tak, znowu ten problem z zapisem. Przepraszam, już to poprawiam. Na kartce papieru takich bzdur nie zapisuję, tylko na komputerze.-- 18 sty 2018, o 22:18 --Ale jeżeli przyjmiemy, że \(\displaystyle{ n}\) może być równe zero, czego na ćwiczeniach nigdy nie robiliśmy (zawsze przyjmowaliśmy że pierwszy wyraz ciągu to \(\displaystyle{ a_{1}}\)) to wtedy \(\displaystyle{ a_{0}= \frac{1}{0}}\) co nie ma za bardzo sensu jeżeli rozważamy ciągi rzeczywiste ?

[a4karo]

Nie jest jasne jak ten zapis interpretować: jedna może być taka jak powyżej, czyli \(\displaystyle{ \sum_{i=0}^n\sqrt[4]{i^4+1}}\), druga to \(\displaystyle{ \sum_{i=0}^{n^4+1}\sqrt[4]{i}}\)

W obu przypadkach Stolz jest dużą armatą:

\(\displaystyle{ \sum_{i=0}^{n^4+1}\sqrt[4]{i}>\sum_{i=0}^n\sqrt[4]{i^4+1}>\sum_{i=0}^n i=n(n+1)/2}\)

[SlotaWoj]

t.j. istnieje wyraz ciągu \(\displaystyle{ ({a_{n}})}\) taki, że \(\displaystyle{ a_{0}}\) .

A o czym informuje to zdanie?

[a4karo]

Wydaje mi się, że trzeba zinterpretować te sumę od drugiej w strony t.j.

\(\displaystyle{ S= \sqrt[4]{n^4+1} + \sqrt[4]{(n-1)^4+1} + \sqrt[4]{(n-2)^4+1} + ... + \sqrt[4]{1^4+1} + \sqrt[4]{0^4+1}}\)

Ale mogę się mylić.

Tu się akurat nie mylisz.

Wtedy ze Stolza mamy:

\(\displaystyle{ \sqrt[4]{n^4+1} - \sqrt[4]{(n-1)^4+1}}\)

A tu już tak.

@edit

Rzeczywiście masz racje, nie może być \(\displaystyle{ n=0}\) , więc wzór jawny jest imho błędny.

A niby dlaczego ów wzór jest błędny? I jakie to ma znaczenie w kontekście liczenia granicy przy \(\displaystyle{ n\to\infty}\) ?