Badanie zbieżności szeregów

[a4karo]

To, że wyraz ogólny dąży do zera wynika natychmiast z ciągłości sinusa i nic to nie trzeba kombinować. Jedyne, czego potrzebujesz to monotonicznosc.

[Monikasm98]

W tym przypadku on nie będzie monotoniczny tak? Bo nie jest ani rosnący ani malejący w całej swojej dziedzinie

[Premislav]

Mylisz się.
Funkcja \(\displaystyle{ f(x)=\sin x}\) jest rosnąca w przedziale \(\displaystyle{ \left( -\frac \pi 2, \frac \pi 2\right)}\). Ciąg \(\displaystyle{ a_n=\frac{1}{2n}}\) jest malejący i dla każdego \(\displaystyle{ n\in\NN^+}\) mamy
\(\displaystyle{ \frac{1}{2n}\in\left( -\frac \pi 2;\frac \pi 2\right)}\). Zatem gdy
\(\displaystyle{ n, m \in \NN^+}\) są takie, że \(\displaystyle{ n>m}\), to\(\displaystyle{ \frac{1}{2m}>\frac{1}{2n}}\) i obie liczby \(\displaystyle{ \frac{1}{2m}, \ \frac{1}{2n}}\) nalezą do wspomnianego przedziału, więc \(\displaystyle{ \sin\left( \frac{1}{2m}\right) >\sin\left( \frac{1}{2n}\right)}\), tj. \(\displaystyle{ a_m>a_n}\) gdy \(\displaystyle{ m<n}\).
Stąd ciąg \(\displaystyle{ a_n=\sin\left( \frac{1}{2n}\right)}\) jest malejący.

[Monikasm98]

Dziękuję bardzo, rozumiałam to całkowicie inaczej i niestety źle :/