Rozwijanie funkcji w szereg Laurenta

[marta_53]

Zapisać funkcję \(\displaystyle{ f(z)=\frac{\sin z}{( z-i)^{2}}}\) w postaci szeregu Laurenta w otoczeniu punktu \(\displaystyle{ z=i}\) .

[Premislav]

Wystarczy skorzystać ze wzoru na sinus sumy (w zespolonych działa równie dobrze) i z rozwinięcia funkcji sinus oraz cosinus w szereg Taylora.
\(\displaystyle{ \sin z=\sin(z-i+i)=\sin (z-i)\cos i+\cos(z-i)\sin i}\)
mamy ponadto:
\(\displaystyle{ \sin (z-i)= \sum_{n=0}^{ \infty } \frac{(-1)^n (z-i)^{2n+1}}{(2n+1)!}}\) .
oraz:
\(\displaystyle{ \cos (z-i)= \sum_{n=0}^{ \infty } \frac{(-1)^n(z-i)^{2n}}{(2n)!}}\) .

[marta_53]

Czyli ostatecznie otrzymam \(\displaystyle{ f(z)= \frac{\cos i \cdot (\text{pierwsza powyższa suma}) + \sin i \cdot (\text{druga suma})}{(z-i)^2}}\)

[Premislav]

Zgadza się. Można to jeszcze troszkę uprościć.

[marta_53]

Dziękuję