Układ równań z parametrem
-
- Użytkownik
- Posty: 57
- Rejestracja: 7 sty 2018, o 19:29
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 31 razy
- Pomógł: 6 razy
Układ równań z parametrem
Wyznacz wszystkie wartości parametru \(\displaystyle{ a}\) , dla których układ
\(\displaystyle{ \begin{cases} y=ax ^{2}+4 \\ x ^{2}+y ^{2}=16 \end{cases}}\)
ma jedno rozwiązanie.
Zadanie wydaje się proste, ale wychodzi mi inny wynik niż w odpowiedzi. W odpowiedzi jest \(\displaystyle{ -\frac{1}{16}}\) , a mi wychodzi \(\displaystyle{ -\frac{1}{8}}\) . Na dodatek żadne z tych rozwiązań nie uwzględnia odpowiedzi \(\displaystyle{ a=0}\) , a podstawiając \(\displaystyle{ a=0}\) mamy tylko jedno rozwiązanie: \(\displaystyle{ y=4,\ x=0}\) .
\(\displaystyle{ \begin{cases} y=ax ^{2}+4 \\ x ^{2}+y ^{2}=16 \end{cases}}\)
ma jedno rozwiązanie.
Zadanie wydaje się proste, ale wychodzi mi inny wynik niż w odpowiedzi. W odpowiedzi jest \(\displaystyle{ -\frac{1}{16}}\) , a mi wychodzi \(\displaystyle{ -\frac{1}{8}}\) . Na dodatek żadne z tych rozwiązań nie uwzględnia odpowiedzi \(\displaystyle{ a=0}\) , a podstawiając \(\displaystyle{ a=0}\) mamy tylko jedno rozwiązanie: \(\displaystyle{ y=4,\ x=0}\) .
Ostatnio zmieniony 20 sty 2018, o 00:40 przez SlotaWoj, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Poprawa wiadomości. Temat umieszczony w złym dziale.
Powód: Poprawa wiadomości. Temat umieszczony w złym dziale.
-
- Użytkownik
- Posty: 22210
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Układ równań z parametrem
Żadne z tych rozwiązań nie jest poprawne. Zauważ, że dla \(\displaystyle{ a\geq 0}\) parabola i okrąg mają dokładnie jeden punkt wspólny.
Mnożąc drugie równanie przez \(\displaystyle{ a}\) (nie wolno tego zrobić gdy \(\displaystyle{ a=0}\) ) i wstawiając do pierwszego otrzymujemy równanie:
\(\displaystyle{ y=16a-ay^2+4=0}\), czyli \(\displaystyle{ ay^2+y-16a-4=0}\)
którego wyróżnik jet równy \(\displaystyle{ (8a-1)^2}\) , ale to nie wystarcza żeby stwierdzić, że dla \(\displaystyle{ a=-1/8}\) jest jedno rozwiązanie. Tak by było, gdyby interesowały nas wszystkie wartości \(\displaystyle{ y}\) . Ale w tym konkretnym przypadku interesują nas tylko \(\displaystyle{ -4\leq y\leq 4}\) .
Przeanalizuj to jeszcze raz.
Mnożąc drugie równanie przez \(\displaystyle{ a}\) (nie wolno tego zrobić gdy \(\displaystyle{ a=0}\) ) i wstawiając do pierwszego otrzymujemy równanie:
\(\displaystyle{ y=16a-ay^2+4=0}\), czyli \(\displaystyle{ ay^2+y-16a-4=0}\)
którego wyróżnik jet równy \(\displaystyle{ (8a-1)^2}\) , ale to nie wystarcza żeby stwierdzić, że dla \(\displaystyle{ a=-1/8}\) jest jedno rozwiązanie. Tak by było, gdyby interesowały nas wszystkie wartości \(\displaystyle{ y}\) . Ale w tym konkretnym przypadku interesują nas tylko \(\displaystyle{ -4\leq y\leq 4}\) .
Przeanalizuj to jeszcze raz.
-
- Użytkownik
- Posty: 817
- Rejestracja: 19 lis 2016, o 23:48
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 21
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 115 razy
Układ równań z parametrem
No jak dla mnie, to dla \(\displaystyle{ a=0}\) nie ma paraboli.a4karo pisze:Żadne z tych rozwiązań nie jest poprawne. Zauważ, że dla \(\displaystyle{ a\geq 0}\) parabola i okrąg mają dokładnie jeden punkt wspólny.
Tu sobie pozwolę wytknąć przedzałożenie, że \(\displaystyle{ y=0}\) ; jakiś błąd się Panu wkradł.a4karo pisze:Mnożąc drugie równanie przez \(\displaystyle{ a}\) (nie wolno tego zrobić gdy \(\displaystyle{ a=0}\) ) i wstawiając do pierwszego otrzymujemy równanie:
\(\displaystyle{ y=16a-ay^2+4=0}\)
A dla \(\displaystyle{ a = -\frac{1}{8}}\) mamy \(\displaystyle{ y = 4}\) , a więc mieści się nawet w zakresie wspomnianym przez Pana.a4karo pisze:czyli \(\displaystyle{ ay^2+y-16a-4=0}\) , którego wyróżnik jet równy \(\displaystyle{ (8a-1)^2}\) , ale to nie wystarcza żeby stwierdzić, że dla \(\displaystyle{ a=-1/8}\) jest jedno rozwiązanie. Tak by było, gdyby interesowały nas wszystkie wartości \(\displaystyle{ y}\) . Ale w tym konkretnym przypadku interesują nas tylko \(\displaystyle{ -4\leq y\leq 4}\) .
Przeanalizuj to jeszcze raz.
Dla \(\displaystyle{ a = -\frac{1}{16}}\) z zadania mamy \(\displaystyle{ \Delta =\frac{9}{4}}\)
\(\displaystyle{ y_1 = \frac{-\frac{5}{2}}{-\frac{1}{8}} = 8 \cdot \frac{5}{2} = 20}\) –> nie spełnia warunków zadania,
\(\displaystyle{ y_2 = \frac{\frac{1}{2}}{-\frac{1}{8}} = -4}\) –> spełnia warunki zadania.
A jak dojść do tego \(\displaystyle{ a = -\frac{1}{16}}\) ?
Można zrobić metodą a4karo, tylko przy założeniu \(\displaystyle{ -4 \le y \le 4}\) .
I rozwiązywać na dwa sposoby:
\(\displaystyle{ \Delta = 0}\) (to już zrobione) oraz \(\displaystyle{ \Delta > 0,\ y_1 \in \left\langle -4;4 \right\rangle\ \wedge\ y_2 \not \in \left\langle -4;4 \right\rangle}\) .
Ostatnio zmieniony 20 sty 2018, o 01:06 przez SlotaWoj, łącznie zmieniany 4 razy.
Powód: Poprawa wiadomości: \langle, \rangle.
Powód: Poprawa wiadomości: \langle, \rangle.
-
- Użytkownik
- Posty: 22210
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Układ równań z parametrem
Już posypuję głowę popiołem.PoweredDragon pisze:No jak dla mnie to dla \(\displaystyle{ a = 0}\) nie ma paraboli.
A gdzie ja zakłądałem \(\displaystyle{ y=0}\) ?Tu sobie pozwolę wytknąć przedzałożenie, że \(\displaystyle{ y = 0}\) ; jakiś błąd się Panu wkradł.a4karo pisze: Mnożąc drugie równanie przez \(\displaystyle{ a}\) (nie wolno tego zrobić gdy \(\displaystyle{ a=0}\) ) i wstawiając do pierwszego otrzymujemy równanie:
\(\displaystyle{ y=16a-ay^2+4=0}\)
To nie jest żadna rewelacja: każda z parabol przechodzi przez punkt \(\displaystyle{ (0,4)}\) , więc jedyne co pozostaje do zrobienia to stwierdzenie, dla jakich wartości \(\displaystyle{ a}\) jest to jedyny punkt wspólny.A dla \(\displaystyle{ a = -\frac{1}{8}}\) mamy \(\displaystyle{ y = 4}\) ,
Gdy \(\displaystyle{ a}\) zmierza od zera do minus nieskończoności, te parabole są najpierw bardzo płaskie, więc drugiego punktu przecięcia nie będzie. Jak w końcu dotkną okręgu, to potem już zawsze będą go przecinać.
-
- Użytkownik
- Posty: 817
- Rejestracja: 19 lis 2016, o 23:48
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 21
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 115 razy
Układ równań z parametrem
To jest założenie, że \(\displaystyle{ y = 0}\) , bowiem ze zsumowania tamtych układów otrzymujemy jedynie\(\displaystyle{ y=16a-ay^2+4=0}\)
\(\displaystyle{ y = 16a-ay^2+4}\) , ale nie mamy równości z zerem. Mówiłem, gdzieś wkradł się jakiś błąd.
A dla \(\displaystyle{ a = -\frac{1}{8}}\) mamy niby więcej punktów wspólnych? No właśnie nie, więc jest to rozwiązanie zadania. (Poza tym teraz zauważyłem, że wyróżnik Pan źle zapisał, bo jest \(\displaystyle{ (8a+1)^2}\) ). Chyba, że ja czegoś nie widzę.a4karo pisze:To nie jest żadna rewelacja: każda z parabol przechodzi przez punkt \(\displaystyle{ (0,4)}\) , więc jedyne co pozostaje do zrobienia to stwierdzenie, dla jakich wartości \(\displaystyle{ a}\) jest to jedyny punkt wspólny.
-
- Użytkownik
- Posty: 22210
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Układ równań z parametrem
No to jeszcze raz ze stosownymi poprawkami. Dzięki Smoku.
\(\displaystyle{ a=-1/16}\) wydaje się być błędem.
-- 16 sty 2018, o 15:19 --
Zauważyć warto, że dla dowolnego \(\displaystyle{ a}\) rozwiązaniem układu jest \(\displaystyle{ y=4}\) . A skoro tak, to drugi pierwiastek to \(\displaystyle{ \frac{16a-4}{a}}\) i trzeba zbadać kiedy ten pierwiastek leży w przedziale \(\displaystyle{ [-4,4]}\)a4karo pisze:Żadne z tych rozwiązań nie jest poprawne. Zauważ, że dla \(\displaystyle{ a\geq 0}\) parabola i okrąg mają dokładnie jeden punkt wspólny.
Mnożąc drugie równanie przez \(\displaystyle{ a}\) (nie wolno tego zrobić gdy \(\displaystyle{ a=0}\) ) i wstawiając do pierwszego otrzymujemy równanie:
\(\displaystyle{ y=16a-ay^2+4}\) , czyli \(\displaystyle{ ay^2+y-16a-4=0}\) , którego wyróżnik jet równy \(\displaystyle{ (8a+1)^2}\) , ale to nie wystarcza żeby stwierdzić, że jedynie dla \(\displaystyle{ a=-1/8}\) jest jedno rozwiązanie. Tak by było, gdyby interesowały nas wszystkie wartości \(\displaystyle{ y}\) . Ale w tym konkretnym przypadku interesują nas tylko \(\displaystyle{ -4\leq y\leq 4}\) .
Przeanalizuj to jeszcze raz.
\(\displaystyle{ a=-1/16}\) wydaje się być błędem.
-- 16 sty 2018, o 15:19 --
-
- Użytkownik
- Posty: 22210
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Układ równań z parametrem
Ten rysunek może sugerować (choć daleko mu do dowodu), że dla \(\displaystyle{ a=-1/16}\) układ równań ma jedynie zerowe rozwiązanie. Zauważ jednak, że w zadaniu jest pytanie o WSZYSTKIE wartości parametru.kropka+ pisze:a4karo pisze:\(\displaystyle{ a=-1/16}\) wydaje się być błędem
Na pewno zatem nie jest to odpowiedź poprawna, a napisałem, że wydaje się być błędem, bo nie jest to nawet wartość graniczna, gdzie zmienia się ilość rozwiązań.
Ponieważ w postach powyżej namieszałem ostro, zamieszczam dwa rozwiązania:
Rozwiązanie 1
Łatwo zauważyć (np. geometrycznie), że dla \(\displaystyle{ a=0}\) układ równań ma jedyne rozwiązanie \(\displaystyle{ (0,4)}\) .
Załóżmy, że \(\displaystyle{ a\neq 0}\) , pomnóżmy drugie równanie przez \(\displaystyle{ a}\) i wyrugujmy zmienną \(\displaystyle{ x}\) .
Otrzymamy równanie:
\(\displaystyle{ (*)\quad ay^2+y-4(4a+1)=0}\)
Widać, że dla dowolnego \(\displaystyle{ a\neq0}\) , \(\displaystyle{ y=4}\) jest pierwiastkiem tego równania. Ze wzorów Viete'a drugim pierwiastkiem jest:
\(\displaystyle{ y_a=-\frac{4a+1}{a}=-4-\frac{1}{a}}\)
Widać stąd, że dla dodatnich \(\displaystyle{ a}\) pierwiastek \(\displaystyle{ y_a}\) jest mniejszy niż \(\displaystyle{ -4}\) , nie może zatem spełniać drugiego równania z układu. Podobnie będzie, gdy \(\displaystyle{ y_a>4}\) , czyli gdy \(\displaystyle{ a<-1/8}\) .
Dla \(\displaystyle{ a=-1/8}\) mamy \(\displaystyle{ y_a=4}\) co też daje jedno rozwiązanie układu.
Dla \(\displaystyle{ -1/8<a<0}\) mamy \(\displaystyle{ -4<y_a<4}\) , a to daje dodatkowe dwa rozwiązanie układu równań.
Odpowiedź: układ równań ma dokładnie jedno rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ a\geq -\frac{1}{8}}\) .
Rozwiązanie 2
Podnosząc pierwsze równanie do kwadratu i rugując \(\displaystyle{ y^2}\) dostajemy równanie:
\(\displaystyle{ a^2x^4+(8a+1)x^2=0}\) , czyli \(\displaystyle{ x^2(a^2x^2+8a+1)=0}\) .
Widać, że jednym z rozwiązań jest \(\displaystyle{ x=0}\), co daje punkt \(\displaystyle{ (0,4)}\) .
Drugie zaś, to \(\displaystyle{ x_a^2=-\frac{8a+1}{a^2}}\) , przedstawia punkt przecięcia okręgu i paraboli różny od \(\displaystyle{ (0,4)}\) wtedy i tylko wtedy, gdy:
\(\displaystyle{ (**)\quad 0<-\frac{8a+1}{a^2}\leq 16}\)
Prawa nierówność jest spełniona zawsze, lewa dla \(\displaystyle{ a<-1/8}\) .
Ostatnio zmieniony 20 sty 2018, o 06:34 przez SlotaWoj, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.