Układ równań z parametrem

Zagadnienia dot. funkcji kwadratowej. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI kwadratowe i pierwiastkowe. Układy równań stopnia 2.
85213
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 57
Rejestracja: 7 sty 2018, o 19:29
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 31 razy
Pomógł: 6 razy

Układ równań z parametrem

Post autor: 85213 » 16 sty 2018, o 06:01

Wyznacz wszystkie wartości parametru \(\displaystyle{ a}\) , dla których układ
\(\displaystyle{ \begin{cases} y=ax ^{2}+4 \\ x ^{2}+y ^{2}=16 \end{cases}}\)
ma jedno rozwiązanie.
Zadanie wydaje się proste, ale wychodzi mi inny wynik niż w odpowiedzi. W odpowiedzi jest \(\displaystyle{ -\frac{1}{16}}\) , a mi wychodzi \(\displaystyle{ -\frac{1}{8}}\) . Na dodatek żadne z tych rozwiązań nie uwzględnia odpowiedzi \(\displaystyle{ a=0}\) , a podstawiając \(\displaystyle{ a=0}\) mamy tylko jedno rozwiązanie: \(\displaystyle{ y=4,\ x=0}\) .
Ostatnio zmieniony 20 sty 2018, o 00:40 przez SlotaWoj, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Poprawa wiadomości. Temat umieszczony w złym dziale.

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16849
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 2834 razy

Układ równań z parametrem

Post autor: a4karo » 16 sty 2018, o 06:52

Żadne z tych rozwiązań nie jest poprawne. Zauważ, że dla \(\displaystyle{ a\geq 0}\) parabola i okrąg mają dokładnie jeden punkt wspólny.
Mnożąc drugie równanie przez \(\displaystyle{ a}\) (nie wolno tego zrobić gdy \(\displaystyle{ a=0}\) ) i wstawiając do pierwszego otrzymujemy równanie:
\(\displaystyle{ y=16a-ay^2+4=0}\), czyli \(\displaystyle{ ay^2+y-16a-4=0}\)
którego wyróżnik jet równy \(\displaystyle{ (8a-1)^2}\) , ale to nie wystarcza żeby stwierdzić, że dla \(\displaystyle{ a=-1/8}\) jest jedno rozwiązanie. Tak by było, gdyby interesowały nas wszystkie wartości \(\displaystyle{ y}\) . Ale w tym konkretnym przypadku interesują nas tylko \(\displaystyle{ -4\leq y\leq 4}\) .

Przeanalizuj to jeszcze raz.

PoweredDragon
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 816
Rejestracja: 19 lis 2016, o 23:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 115 razy

Układ równań z parametrem

Post autor: PoweredDragon » 16 sty 2018, o 10:04

a4karo pisze:Żadne z tych rozwiązań nie jest poprawne. Zauważ, że dla \(\displaystyle{ a\geq 0}\) parabola i okrąg mają dokładnie jeden punkt wspólny.
No jak dla mnie, to dla \(\displaystyle{ a=0}\) nie ma paraboli.
a4karo pisze:Mnożąc drugie równanie przez \(\displaystyle{ a}\) (nie wolno tego zrobić gdy \(\displaystyle{ a=0}\) ) i wstawiając do pierwszego otrzymujemy równanie:
\(\displaystyle{ y=16a-ay^2+4=0}\)
Tu sobie pozwolę wytknąć przedzałożenie, że \(\displaystyle{ y=0}\) ; jakiś błąd się Panu wkradł.
a4karo pisze:czyli \(\displaystyle{ ay^2+y-16a-4=0}\) , którego wyróżnik jet równy \(\displaystyle{ (8a-1)^2}\) , ale to nie wystarcza żeby stwierdzić, że dla \(\displaystyle{ a=-1/8}\) jest jedno rozwiązanie. Tak by było, gdyby interesowały nas wszystkie wartości \(\displaystyle{ y}\) . Ale w tym konkretnym przypadku interesują nas tylko \(\displaystyle{ -4\leq y\leq 4}\) .
Przeanalizuj to jeszcze raz.
A dla \(\displaystyle{ a = -\frac{1}{8}}\) mamy \(\displaystyle{ y = 4}\) , a więc mieści się nawet w zakresie wspomnianym przez Pana.

Dla \(\displaystyle{ a = -\frac{1}{16}}\) z zadania mamy \(\displaystyle{ \Delta =\frac{9}{4}}\)

\(\displaystyle{ y_1 = \frac{-\frac{5}{2}}{-\frac{1}{8}} = 8 \cdot \frac{5}{2} = 20}\) –> nie spełnia warunków zadania,
\(\displaystyle{ y_2 = \frac{\frac{1}{2}}{-\frac{1}{8}} = -4}\) –> spełnia warunki zadania.

A jak dojść do tego \(\displaystyle{ a = -\frac{1}{16}}\) ?
Można zrobić metodą a4karo, tylko przy założeniu \(\displaystyle{ -4 \le y \le 4}\) .

I rozwiązywać na dwa sposoby:
\(\displaystyle{ \Delta = 0}\) (to już zrobione) oraz \(\displaystyle{ \Delta > 0,\ y_1 \in \left\langle -4;4 \right\rangle\ \wedge\ y_2 \not \in \left\langle -4;4 \right\rangle}\) .
Ostatnio zmieniony 20 sty 2018, o 01:06 przez SlotaWoj, łącznie zmieniany 4 razy.
Powód: Poprawa wiadomości: \langle, \rangle.

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16849
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 2834 razy

Układ równań z parametrem

Post autor: a4karo » 16 sty 2018, o 14:30

PoweredDragon pisze:No jak dla mnie to dla \(\displaystyle{ a = 0}\) nie ma paraboli.
Już posypuję głowę popiołem.
a4karo pisze: Mnożąc drugie równanie przez \(\displaystyle{ a}\) (nie wolno tego zrobić gdy \(\displaystyle{ a=0}\) ) i wstawiając do pierwszego otrzymujemy równanie:
\(\displaystyle{ y=16a-ay^2+4=0}\)
Tu sobie pozwolę wytknąć przedzałożenie, że \(\displaystyle{ y = 0}\) ; jakiś błąd się Panu wkradł.
A gdzie ja zakłądałem \(\displaystyle{ y=0}\) ?
A dla \(\displaystyle{ a = -\frac{1}{8}}\) mamy \(\displaystyle{ y = 4}\) ,
To nie jest żadna rewelacja: każda z parabol przechodzi przez punkt \(\displaystyle{ (0,4)}\) , więc jedyne co pozostaje do zrobienia to stwierdzenie, dla jakich wartości \(\displaystyle{ a}\) jest to jedyny punkt wspólny.
Gdy \(\displaystyle{ a}\) zmierza od zera do minus nieskończoności, te parabole są najpierw bardzo płaskie, więc drugiego punktu przecięcia nie będzie. Jak w końcu dotkną okręgu, to potem już zawsze będą go przecinać.

PoweredDragon
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 816
Rejestracja: 19 lis 2016, o 23:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 115 razy

Układ równań z parametrem

Post autor: PoweredDragon » 16 sty 2018, o 15:08

\(\displaystyle{ y=16a-ay^2+4=0}\)
To jest założenie, że \(\displaystyle{ y = 0}\) , bowiem ze zsumowania tamtych układów otrzymujemy jedynie
\(\displaystyle{ y = 16a-ay^2+4}\) , ale nie mamy równości z zerem. Mówiłem, gdzieś wkradł się jakiś błąd.
a4karo pisze:To nie jest żadna rewelacja: każda z parabol przechodzi przez punkt \(\displaystyle{ (0,4)}\) , więc jedyne co pozostaje do zrobienia to stwierdzenie, dla jakich wartości \(\displaystyle{ a}\) jest to jedyny punkt wspólny.
A dla \(\displaystyle{ a = -\frac{1}{8}}\) mamy niby więcej punktów wspólnych? No właśnie nie, więc jest to rozwiązanie zadania. (Poza tym teraz zauważyłem, że wyróżnik Pan źle zapisał, bo jest \(\displaystyle{ (8a+1)^2}\) ). Chyba, że ja czegoś nie widzę.

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16849
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 2834 razy

Układ równań z parametrem

Post autor: a4karo » 16 sty 2018, o 15:18

No to jeszcze raz ze stosownymi poprawkami. Dzięki Smoku.
a4karo pisze:Żadne z tych rozwiązań nie jest poprawne. Zauważ, że dla \(\displaystyle{ a\geq 0}\) parabola i okrąg mają dokładnie jeden punkt wspólny.
Mnożąc drugie równanie przez \(\displaystyle{ a}\) (nie wolno tego zrobić gdy \(\displaystyle{ a=0}\) ) i wstawiając do pierwszego otrzymujemy równanie:
\(\displaystyle{ y=16a-ay^2+4}\) , czyli \(\displaystyle{ ay^2+y-16a-4=0}\) , którego wyróżnik jet równy \(\displaystyle{ (8a+1)^2}\) , ale to nie wystarcza żeby stwierdzić, że jedynie dla \(\displaystyle{ a=-1/8}\) jest jedno rozwiązanie. Tak by było, gdyby interesowały nas wszystkie wartości \(\displaystyle{ y}\) . Ale w tym konkretnym przypadku interesują nas tylko \(\displaystyle{ -4\leq y\leq 4}\) .

Przeanalizuj to jeszcze raz.
Zauważyć warto, że dla dowolnego \(\displaystyle{ a}\) rozwiązaniem układu jest \(\displaystyle{ y=4}\) . A skoro tak, to drugi pierwiastek to \(\displaystyle{ \frac{16a-4}{a}}\) i trzeba zbadać kiedy ten pierwiastek leży w przedziale \(\displaystyle{ [-4,4]}\)

\(\displaystyle{ a=-1/16}\) wydaje się być błędem.

-- 16 sty 2018, o 15:19 --

Awatar użytkownika
kropka+
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4389
Rejestracja: 16 wrz 2010, o 14:54
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 787 razy

Układ równań z parametrem

Post autor: kropka+ » 17 sty 2018, o 11:34

a4karo pisze:\(\displaystyle{ a=-1/16}\) wydaje się być błędem.
http://www.wolframalpha.com/input/?i=pl ... E2%3D16);)

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16849
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 2834 razy

Układ równań z parametrem

Post autor: a4karo » 19 sty 2018, o 05:26

[quote="kropka+"][quote="a4karo"]\(\displaystyle{ a=-1/16}\) wydaje się być błędem[/quote]
http://www.wolframalpha.com/input/?i=pl ... E2%3D16);)[/quote]
Ten rysunek może sugerować (choć daleko mu do dowodu), że dla \(\displaystyle{ a=-1/16}\) układ równań ma jedynie zerowe rozwiązanie. Zauważ jednak, że w zadaniu jest pytanie o WSZYSTKIE wartości parametru.
Na pewno zatem nie jest to odpowiedź poprawna, a napisałem, że wydaje się być błędem, bo nie jest to nawet wartość graniczna, gdzie zmienia się ilość rozwiązań.


Ponieważ w postach powyżej namieszałem ostro, zamieszczam dwa rozwiązania:

Rozwiązanie 1

Łatwo zauważyć (np. geometrycznie), że dla \(\displaystyle{ a=0}\) układ równań ma jedyne rozwiązanie \(\displaystyle{ (0,4)}\) .
Załóżmy, że \(\displaystyle{ a\neq 0}\) , pomnóżmy drugie równanie przez \(\displaystyle{ a}\) i wyrugujmy zmienną \(\displaystyle{ x}\) .
Otrzymamy równanie:
\(\displaystyle{ (*)\quad ay^2+y-4(4a+1)=0}\)
Widać, że dla dowolnego \(\displaystyle{ a\neq0}\) , \(\displaystyle{ y=4}\) jest pierwiastkiem tego równania. Ze wzorów Viete'a drugim pierwiastkiem jest:
\(\displaystyle{ y_a=-\frac{4a+1}{a}=-4-\frac{1}{a}}\)

Widać stąd, że dla dodatnich \(\displaystyle{ a}\) pierwiastek \(\displaystyle{ y_a}\) jest mniejszy niż \(\displaystyle{ -4}\) , nie może zatem spełniać drugiego równania z układu. Podobnie będzie, gdy \(\displaystyle{ y_a>4}\) , czyli gdy \(\displaystyle{ a<-1/8}\) .
Dla \(\displaystyle{ a=-1/8}\) mamy \(\displaystyle{ y_a=4}\) co też daje jedno rozwiązanie układu.

Dla \(\displaystyle{ -1/8<a<0}\) mamy \(\displaystyle{ -4<y_a<4}\) , a to daje dodatkowe dwa rozwiązanie układu równań.

Odpowiedź: układ równań ma dokładnie jedno rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ a\geq -\frac{1}{8}}\) .

Rozwiązanie 2

Podnosząc pierwsze równanie do kwadratu i rugując \(\displaystyle{ y^2}\) dostajemy równanie:
\(\displaystyle{ a^2x^4+(8a+1)x^2=0}\) , czyli \(\displaystyle{ x^2(a^2x^2+8a+1)=0}\) .

Widać, że jednym z rozwiązań jest \(\displaystyle{ x=0}\), co daje punkt \(\displaystyle{ (0,4)}\) .
Drugie zaś, to \(\displaystyle{ x_a^2=-\frac{8a+1}{a^2}}\) , przedstawia punkt przecięcia okręgu i paraboli różny od \(\displaystyle{ (0,4)}\) wtedy i tylko wtedy, gdy:
\(\displaystyle{ (**)\quad 0<-\frac{8a+1}{a^2}\leq 16}\)

Prawa nierówność jest spełniona zawsze, lewa dla \(\displaystyle{ a<-1/8}\) .
Ostatnio zmieniony 20 sty 2018, o 06:34 przez SlotaWoj, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

ODPOWIEDZ