Równanie różniczkowe rzędu drugiego

[Gui]

Mam takie oto równanie: \(\displaystyle{ y''+9y=\sin 3x}\). Znalazłem całkę ogólną jednorodnego (\(\displaystyle{ y=A\cos 3x\ +B\sin 3x}\)), ale nijak nie mogę wyliczyć tego szczególnego, próbowałem uzmiennianiem (zamieszałem się, bo dużo rachunków) i "zgadywaniem" (podstawiłem \(\displaystyle{ y_{SN}=(ax+b)\cos 3x\ +(cx+d)\sin 3x}\)). Wiem, że to nie idzie tak prosto bo \(\displaystyle{ y=\sin 3x}\) jest rozwiązaniem ogólnego jednorodnego, dlatego proszę o rozwiązanie, żebym mógł znaleźć błąd.

[szw1710]

dlatego proszę o rozwiązanie, żebym mógł znaleźć błąd

I inny cytat

Udajcie się tam i wypytujcie starannie o Dziecię, a gdy Je znajdziecie, donieście mi, abym i ja mógł pójść i oddać Mu pokłon

Czy to nie podobne? Kolejność jest inna. Ty przedstawiasz swoje rozwiązanie, a my diagnozujemy błędy.

[Gui]

Błąd chcę znaleźć w swoim rozumowaniu, porównując swoje rozwiązanie do poprawnego

[Premislav]

Nie pamiętam już metody przewidywań, ale szczerze mówiąc nie chce mi się uzmienniać stałych, więc poczytałem tutaj: viewtopic.php?t=140782
(należy tylko odnotować, że jest tam, jak się zdaje, mały konflikt oznaczeń).
Z tego wynika, że powinno zadziałać takie przewidywanie
\(\displaystyle{ y_{sz}=x(a\cos 3x+b \sin 3x)}\)
Wstawmy to do rzeczonego równania \(\displaystyle{ y''+9y=sin 3x}\) i popatrzmy:
\(\displaystyle{ 2\cdot\left( -3a\sin 3x+3b\cos 3x\right) +x\left( -9a\cos 3x-9b\sin 3x\right) +9x(a\cos 3x+b\sin 3x)=\\=\sin 3x\ -6a\sin 3x+6b\cos 3x=\sin 3x}\)
Stąd otrzymujemy:
\(\displaystyle{ a=-\frac{1}{6}, b=0}\),
czyli mamy rozwiązanie szczególne równania niejednorodnego postaci
\(\displaystyle{ y_{sz}=-\frac{1}{6}x\cos 3x}\).

Polecam przejrzeć wątek, do którego link podałem, tylko spytam jeszcze, czy zauważyłeś konflikt oznaczeń, o którym wspomniałem?

[janusz47]

\(\displaystyle{ y^{''} + 9y = \sin(3x)}\) (0)

Sposób rozwiązania wymagający znajomości pojęcia quasiwielomianu i liczb zespolonych w zakresie podstawowym.

Funkcję postaci:

\(\displaystyle{ q(x) = w(y)e^{\lambda\cdot x}}\) ( w - wielomian) nazywamy quasiwielomianem stopnia \(\displaystyle{ n, \ \ n\in \NN}\) o wykładniku \(\displaystyle{ \lambda.}\)

Prawa strona równania jest quasiwielomianem stopnia zerowego i

\(\displaystyle{ \sin(3x) = Im[e^{i\cdot 3x}]}\) (0)

Zajmiemy się więc równaniem pomocniczym:

\(\displaystyle{ y^{''} +9y = e^{i\cdot3x}}\)

Równanie charakterystyczne równania jednorodnego:

\(\displaystyle{ \lambda^2 + 9 = 0}\) (1)

ma dwa pierwiastki \(\displaystyle{ \lambda_{1} = -3i, \ \ \lambda_{2} = 3i.}\)

Wobec twierdzenia o rozwiązaniach równania różniczkowego linowego rzędu I - jednym z rozwiązań szczególnych równania (0) jest quasiwielomian stopnia pierwszego:

\(\displaystyle{ q(x) = (Ax +B)e^{i\cdot 3x}.}\)

Powinno więc być spełnione równanie:

\(\displaystyle{ e^{i\cdot 3x} = [(Ax +B)e^{i\cdot 3x}]^{''} + 9[(Ax +B)e^{i\cdot 3x}] = [Ae^{i\cdot 3x}+3i(Ax +B)e^{i\cdot 3x}]^{'} + 9(Ax +B)e^{i\cdot 3x} = 3iAe^{i\cdot 3x}+3iAe^{i\cdot 3x}+9i^2 (Ax +B)e^{i\cdot 3x} + 9(Ax +B)e^{i\cdot 3x}= 6iAe^{i\cdot 3x} - 9(Ax +B)e^{i\cdot 3x}+ 9(Ax +B)e^{i\cdot 3x} = 6iAe^{i\cdot 3x}.}\)

Stąd:

\(\displaystyle{ 1 = 6iA, \ \ A = \frac{1}{6i}, \ \ A =-\frac{1}{6}i, \ \ B}\) - dowolna liczba, \(\displaystyle{ B\in \CC.}\)

Znaleźliśmy rozwiązanie szczególne równania:

\(\displaystyle{ y_{s} = \left(-\frac{1}{6}i \cdot x + B \right)e^{i\cdot 3x}}\)

i jego rozwiązanie ogólne:

\(\displaystyle{ y = \left( -\frac{1}{6}i \cdot x + B \right)e^{i\cdot 3x} +C_{1}e^{-i\cdot 3x}+ C_{2}e^{-\cdot 3x}}\) (2)

Z porównania (2) i (0) wynika, że rozwiązaniem ogólnym równania jest funkcja:

\(\displaystyle{ y = Im \left[\left(-\frac{1}{6}i x + B)(\cos(3x) + i\sin(3x)\right)\right] +C_{1}\cos(3x)+C_{2}\sin(3x) = -\frac{1}{6}x\cos(3x) +B\sin(3x) + C_{1}\cos(3x)+C_{2}\sin(3x) = -\frac{1}{6}x\cdot \cos(3x) + C\sin(3x)+ C_{1}\cos(3x), \\ C = B + C_{2}.}\)

\(\displaystyle{ y = -\frac{1}{6} x \cdot \cos(3x) + C\sin(3x) + C_{1}\cos(3x).}\)