Na czym polega złożenie relacji?

[kamilm758]

Witam, nie bardzo rozumiem jak się składa relacje.
Mógłby ktoś mi wytłumaczyć na tym przykładzie?
\(\displaystyle{ A=\{0,1,2,3,4,5\} \\
r_1=\{(x,y) \in A \times A: y\equiv(x+4)\pmod{6}\} \\
r_2=\{(x,y) \in A \times A: x \mbox{ jest najmniejszą liczbą nieparzystą większą niż }y\}}\)

[lukequaint]

Wypisz najpierw elementy tych zbiorów. Złożenie relacji jest pokazane na podobnym przykładzie

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Z%C5%82o%C5%BCenie_relacji

.

[Jan Kraszewski]

Na wszelki wypadek warto ustalić, jaką definicją złożenia posługujesz się (bo są dwie wersje).

JK

[kamilm758]

Taką definicję mam, ale nie wiem jak ją zastosować.

Niech \(\displaystyle{ r_1 \subseteq X \times Y}\) oraz \(\displaystyle{ r_2 \subseteq Y \times Z}\).
Złożeniem relacji \(\displaystyle{ r_1}\) z \(\displaystyle{ r_2}\) nazywamy relację \(\displaystyle{ r_1 \circ r_2}\) będącą podzbiorem zbioru \(\displaystyle{ X \times Z}\) określoną na dowolnych \(\displaystyle{ x \in X}\) i \(\displaystyle{ z \in Z}\) następująco:

\(\displaystyle{ (x,z) \in r_1 \circ r_2}\) wttw istnieje takie \(\displaystyle{ y \in Y}\), że \(\displaystyle{ (x,y) \in r_1}\) i \(\displaystyle{ (y,z) \in r_2}\)

więc jak to zastosować?
jak złożyć te relacje

[Jan Kraszewski]

Złożeniem relacji \(\displaystyle{ r_1}\) z \(\displaystyle{ r_2}\) nazywamy relację \(\displaystyle{ r_1 \circ r_2}\) będącą podzbiorem zbioru \(\displaystyle{ X \times Z}\) określoną na dowolnych \(\displaystyle{ x \in X}\) i \(\displaystyle{ z \in Z}\) następująco:

\(\displaystyle{ (x,z) \in r_1 \circ r_2}\) wttw istnieje takie \(\displaystyle{ y \in Y}\), że \(\displaystyle{ (x,y) \in r_1}\) i \(\displaystyle{ (y,z) \in r_2}\)

Warto zauważyć, że jest to definicja inna niż ta na Wikipedii.

więc jak to zastosować?

Posłuchaj rady lukequainta i wyznacz najpierw \(\displaystyle{ r_1}\) i \(\displaystyle{ r_2}\).

JK

[kamilm758]

\(\displaystyle{ r_1=\{(0,4),(1,5),(2,0),(3,1),(4,2),(5,3)\}}\)

\(\displaystyle{ r_2=\{(1,0),(3,1),(5,3),(3,2),(5,4)\}}\)

zastosowałem coś w stylu tego przykładu z wikipedii, czyli coś podobnego do składania permutacji.

\(\displaystyle{ r_1\circ r_2=\{(1,4),(1,3),(3,0),(5,2)\}}\)

dobrze?

[Jan Kraszewski]

Nie do końca, choć w dobrym kierunku. Jeszcze nie wszystkie elementy złożenia wyznaczyłeś.

JK

[kamilm758]

jeszcze \(\displaystyle{ (5,1)}\)?

[lukequaint]

Tak. Możesz się jeszcze zastanowić jak wyglądałoby to złożenie, jeśli zastosowalibyśmy definicję z Wikipedii.

[kamilm758]

mam jeszcze takie pytanko dodatkowe.
Jak wyglądało by złożenie relacji \(\displaystyle{ r_1\circ r_1}\)?
załóżmy że te pary należą do relacji \(\displaystyle{ r_1}\)
\(\displaystyle{ r_1=\{(0,4),(1,5),(2,0),(3,1),(4,2),(5,3)\}}\)

tak by to wyglądało?
\(\displaystyle{ r_1\circ r_1=\{(0,2),(1,3),(2,4),(3,5),(4,0),(5,1)\}}\)

[Jan Kraszewski]

Tak.

JK