ilość dodatnich rozwiązań równania

[TorrhenMathMeth]

Pokazać, że równanie \(\displaystyle{ e^{x} \cdot \sin ( \sqrt{x}) \ = \ 1+x^{2}}\)

Ma nieskończenie wiele dodatnich rozwiązań.

[bakala12]

Zdefiniujmy dwa ciągi liczb dodatnich:
\(\displaystyle{ a_{n} = \left(\frac{\pi}{2}+2n\pi\right)^{2}}\)
\(\displaystyle{ b_{n} = \left(\frac{3\pi}{2}+2n\pi\right)^{2}}\)

Zauważamy, że \(\displaystyle{ \sin \sqrt{a_{n}} =1}\) oraz \(\displaystyle{ \sin \sqrt{b_{n}}=-1}\).
Niech \(\displaystyle{ f\left(x\right) = e^x \sin \sqrt{x} -1 -x^2}\).
Zauważamy, że:
\(\displaystyle{ f\left(b_{n}\right) = -e^{b_n}-1-b_{n}^{2} < 0}\)
\(\displaystyle{ f\left(a_{n}\right) = e^{a_n}-1-a_{n}^2 >0}\).

Druga nierówność wymaga uzasadnienia. I to uzasadnienie jest takie, że dla \(\displaystyle{ x>0}\) mamy \(\displaystyle{ e^{x} > 1+x^{2}}\). Dowód tej nierówności przeprowadza się stosując rachunek różniczowy, szczegóły pozostawiam Tobie

Stąd z własności Darboux funkcja \(\displaystyle{ f}\) zeruje się w każdym z przedziałów \(\displaystyle{ \left(a_{n},b_{n}\right)}\), co kończy dowód.

[TorrhenMathMeth]

A dałoby się to zrobić bez różniczkowania? Bo niestety nie mieliśmy jeszcze rachunku różniczkowego i bez zdefiniowania pojęć i udowodnienia wszystkich własności nie mogę się na to powoływać.

[Premislav]

Jeżeli udowodnisz, że
\(\displaystyle{ lim_{x o infty } frac{e^x}{1+x^2}=+infty}\), to możesz stąd wywnioskować, że dla dużych \(\displaystyle{ x}\) jest \(\displaystyle{ e^x>1+x^2}\).
Inny pomysł to wykorzystanie faktu, że dla dowolnego ustalonego \(\displaystyle{ x>0}\) (nawet \(\displaystyle{ x>-1}\), ale to nam niepotrzebne) ciąg
\(\displaystyle{ a_n=left( 1+frac{x}{n}
ight)^n}\) jest rosnący (wynika to z nierówności Bernoulliego) i zbieżny do \(\displaystyle{ e^x}\), zatem wówczas
\(\displaystyle{ e^x>left( 1+frac{x}{n}
ight)^n>1+x+frac{n(n-1)}{2}cdot frac{x^2}{n^2}+frac{n(n-1)(n-2)}{6}frac{x^3}{n^3}}\) dla \(\displaystyle{ n>3}\), jest to swego rodzaju wzmocnienie nierówności Bernoulliego (można wykazać indukcyjnie tę ostatnią nierówność, patrz 424566.htm albo po prostu skorzystać ze wzoru dwumianowego Newtona).
Pozostają jakieś trywialne szacowania typu \(\displaystyle{ frac{(n-1)(n-2)}{n^2} >frac 1 3}\) dla \(\displaystyle{ nge 4}\), co się po prostu wymnaża na pałę. Stąd możemy wywnioskować, że np.
\(\displaystyle{ e^x>1+frac{x^3}{18}ge 1+x^2}\) dla \(\displaystyle{ xge 18}\)
czy coś w tym stylu (wcześniej pomyliłem się w mnożeniu liczb jednocyfrowych).


I dalej z Darboux, tak jak zaproponował bakala12.
Poza tym rachunek różniczkowy miałeś w szkole średniej chyba, uważam, że to żart, nie pozwalać na stosowanie w rozwiązaniach rachunku różniczkowego.

[TorrhenMathMeth]

Poza tym rachunek różniczkowy miałeś w szkole średniej chyba, uważam, że to żart, nie pozwalać na stosowanie w rozwiązaniach rachunku różniczkowego.

Witamy na studiach uniwersyteckich.

Dzięki za pomoc.