Transformata Laplace'a

Równania różniczkowe i całkowe. Równania różnicowe. Transformata Laplace'a i Fouriera oraz ich zastosowanie w równaniach różniczkowych.
Spider49
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 18 gru 2017, o 15:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 4 razy

Transformata Laplace'a

Post autor: Spider49 » 9 sty 2018, o 18:22

Witam,
Potrzebuję pomocy przy dokończeniu zadania. Celem jest rozwiązanie tego układu za pomocą transformaty Laplace'a

\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} x'+y'+y=e^t\\x'-y'+x=0\end{array}}\)

\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} x(0)=0\\y(0)=1\end{array}}\)

Obkładam w każdym równaniu obustronnie transformatą Laplance'a.

\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} L(x')+L(y')+L(y)=(e^t)\\L(x')-L(y')+L(x)=0\end{array}}\)

\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} sX(s)+sY(y)+Y(s)=\frac{1}{s-1}\\sX(s)-sY(s)+X(s)=0\end{array}}\)

Przekształcam pierwsze równanie i podstawiam do drugiego równania.

\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} Y(s)=\frac{sX(s)+X(s)}{s}\\sX(s)+\frac{s(sX(s)+X(s))}{s}+\frac{sX(s)+X(s)}{s}=\frac{1}{s-1}\end{array}}\)

\(\displaystyle{ 2s^2X(s)+2sX(s)+X(s)= \frac{s}{s-1}}\)

\(\displaystyle{ X(s)=\frac{s}{(s-1)(2s^2+2s+1)}}\)

Zamieniam na ułamki proste

\(\displaystyle{ \frac{s}{(s-1)(2s^2+2s+1)}=\frac{A}{(s-1)}+\frac{Bs+C}{2s^2+2s+1}}\)

\(\displaystyle{ s=2As^2+2As+A+Bs^2-Bs+Cs-C}\)

\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} 0=2A+B\\1=2A-B+C\\0=A-C\end{array}}\)

\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} B=\frac {-2}{5}\\A= \frac{1}{5}\\C=\frac{1}{5}\end{array}}\)

\(\displaystyle{ X(s)=\frac{\frac{1}{5}}{s-1}+\frac{\frac{-2s}{5}+\frac{1}{5}}{2s^2+2s+1}}\)

Analogicznie obliczam Y(s)

\(\displaystyle{ Y(s)=\frac{s+1}{(s-1)(2s^2+2s+1)} \\ \vdots \\ \\ \left\{\begin{array}{l} B=\frac {-4}{5}\\A= \frac{2}{5}\\C=\frac{-3}{5}\end{array}}\)

\(\displaystyle{ Y(s)=\frac{\frac{2}{5}}{s-1}+\frac{\frac{-4s}{5}+\frac{-3}{5}}{2s^2+2s+1}}\)

Liczę transformatę odwrotną

\(\displaystyle{ x(t)=L^{-1}\big(X(s)\big)=L^{-1}\left( \frac{\frac{1}{5}}{s-1}\right)+L^{-1}\left(\frac{\frac{-2s}{5}+\frac{1}{5}}{2s^2+2s+1}\right)}\)

\(\displaystyle{ y(t)=L^{-1}\big(Y(s)\big)=L^{-1}\left(\frac{\frac{2}{5}}{s-1}\right)+L^{-1}\left(\frac{\frac{-4s}{5}+\frac{-3}{5}}{2s^2+2s+1}\right)}\)

Na tym etapie nie wiem jaką postać przyjmie \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) po obliczeniu transformaty odwrotnej.

Wiem, że przy \(\displaystyle{ L^{-1}\left(\frac{\frac{2}{5}}{s-1}\right)}\) mogę wyciągnąć \(\displaystyle{ \frac{2}{5}}\) i wtedy będę miał \(\displaystyle{ e^{t}}\) , ale problem jest przy \(\displaystyle{ L^{-1}\left(\frac{\frac{-2s}{5}+\frac{1}{5}}{2s^2+2s+1}\right)}\) .
Ostatnio zmieniony 10 sty 2018, o 00:57 przez SlotaWoj, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości. Używaj nawiasów „wbudowanych”.

Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7207
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 205 razy
Pomógł: 2862 razy

Transformata Laplace'a

Post autor: kerajs » 10 sty 2018, o 08:08

Spider49 pisze: \(\displaystyle{ left{egin{array}{l} L(x')+L(y')+L(y)=(e^t)\L(x')-L(y')+L(x)=0end{array}}\)

\(\displaystyle{ left{egin{array}{l} sX(s)+sY(y)+Y(s)=frac{1}{s-1}\sX(s)-sY(s)+X(s)=0end{array}}\)
gubisz oznaczenia transformat wyrazów wolnych :
\(\displaystyle{ left{egin{array}{l} L(x')+L(y')+L(y)=L(e^t)\L(x')-L(y')+L(x)=L(0)end{array}}\)
oraz warunki początkowe:
\(\displaystyle{ left{egin{array}{l} (sX(s)-0)+(sY(y)-1)+Y(s)=frac{1}{s-1}\ (sX(s)-0)-(sY(s)-1)+X(s)=0end{array}}\)
co sprawia, że musisz rozwiązywać układ jeszcze raz.
Spider49 pisze: ale problem jest przy \(\displaystyle{ L^{-1}left(frac{frac{-2s}{5}+frac{1}{5}}{2s^2+2s+1} ight)}\)
Problem rozwiążą wzory z: 428136.htm . Zdołasz je tu zastosować?

ODPOWIEDZ