Teoria grup

[viola14]

Proszę o pomoc w rozwiązaniu zadania
Udowodnić, że jeżeli zbiór wszystkich elementów rzędu nieskończonego grupy abelowej \(\displaystyle{ G}\) jest niepusty i zawarty w podgrupie \(\displaystyle{ H}\) grupy \(\displaystyle{ G}\) to \(\displaystyle{ H=G}\).

Prowadząca podpowiedziała jak należy rozpocząć, jednak nie umiem dokończyć
Z: \(\displaystyle{ G}\) grupa abelowa, \(\displaystyle{ A = \left\{ a \in G : rza = \infty \right\}}\), istnieje \(\displaystyle{ {H} \quad
H < G : A \subset H}\)
T: \(\displaystyle{ H = G}\)

Niech \(\displaystyle{ a \in G, b \in A}\) oraz \(\displaystyle{ a}\) nie należy do \(\displaystyle{ A}\).
\(\displaystyle{ c = a+b}\)
\(\displaystyle{ rzc = \infty}\) (pokazać!)

HP. \(\displaystyle{ rzc = k < \infty}\) tzn. \(\displaystyle{ kc = 0 \Rightarrow ka + kb = 0}\)

[leg14]

W zasadzie zadanie masz rozwiązane. Pytanie, czy rozumiesz, co tam się dzieje?

[viola14]

Niestety nie.
Nie rozumiem tego co jest napisane, ani nie potrafię go rozpisać i dokończyć.

[Premislav]

Wskazówka: \(\displaystyle{ a}\) ma taki sam rząd, co \(\displaystyle{ -a}\). Jeśli więc \(\displaystyle{ a}\) ma rząd skończony \(\displaystyle{ n}\), to \(\displaystyle{ -a}\) też ma rząd \(\displaystyle{ n}\).

[leg14]

Działasz nie wprost. Zakładasz, że istnieje jakiś \(\displaystyle{ x \in G -H}\).
Jaki rząd musi mieć \(\displaystyle{ x}\)?

Niech \(\displaystyle{ h \in H}\). Jaki rząd ma element \(\displaystyle{ x +h}\)?

[viola14]

Zatem \(\displaystyle{ rzx = n < \infty}\), natomiast \(\displaystyle{ rz(x+h) = \infty}\)??

[leg14]

Tak.
Zatem \(\displaystyle{ x+h \in H}\).
Skorzytsaj teraz z założenia, że \(\displaystyle{ H}\) jest grupą, by dowieść, że \(\displaystyle{ x \in H}\)

[viola14]

Chyba nadal nie do końca rozumiem, wiemy że \(\displaystyle{ h \in H}\) oraz \(\displaystyle{ x+h \in H}\) to \(\displaystyle{ x}\) powinien być z \(\displaystyle{ H}\), ale nie wiem jak to uzasadnić.
I co nam to da w pokazaniu, że \(\displaystyle{ G=H}\)?

[leg14]

I co nam to da w pokazaniu, że G=H?

Założyliśmy, że \(\displaystyle{ x \in G - H}\)

to x powinien być z H, ale nie wiem jak to uzasadnić.

\(\displaystyle{ H}\) jest podgrupą - suma i różnica dwóch elementów podgrupy leży w podgrupie

[viola14]

Czyli skoro \(\displaystyle{ h \in H}\) oraz \(\displaystyle{ x + h \in H}\) to \(\displaystyle{ x+h - h = x \in H}\).
Zatem \(\displaystyle{ x \in G - H}\) oraz \(\displaystyle{ x ]in H}\), czyli \(\displaystyle{ G = H}\)??

[leg14]

tak

[viola14]

Już troszkę jaśniej, dziękuję za pomoc.