Uzasadnić, że obwód trójkąta należy do przedziału
-
- Użytkownik
- Posty: 57
- Rejestracja: 7 sty 2018, o 19:29
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 31 razy
- Pomógł: 6 razy
Uzasadnić, że obwód trójkąta należy do przedziału
Długości boków trójkąta a, b, c spełniają warunek:
\(\displaystyle{ ab+bc+ca=27}\). Uzasadnij, że obwód trójkąta jest nie mniejszy od 9 i mniejszy od 11.
Próbowałem coś kombinować, ale nie doszedłem do żadnego sensownego wniosku. Przyjmę wszystkie sugestie, pomysły.
\(\displaystyle{ ab+bc+ca=27}\). Uzasadnij, że obwód trójkąta jest nie mniejszy od 9 i mniejszy od 11.
Próbowałem coś kombinować, ale nie doszedłem do żadnego sensownego wniosku. Przyjmę wszystkie sugestie, pomysły.
- Richard del Ferro
- Użytkownik
- Posty: 190
- Rejestracja: 13 mar 2016, o 22:48
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 16 razy
Re: Uzasadnić, że obwód trójkąta należy do przedziału
Załóżmy, że najdłuższym bokiem jest \(\displaystyle{ c}\)
Wtedy, mamy z nierówności trójkąta
\(\displaystyle{ a+b \ge c}\)
oraz
dla założenia, że \(\displaystyle{ a>b}\)
\(\displaystyle{ a-b \le c}\)
Mamy, także z Cauchy'ego, co rozwiń dalej sam
\(\displaystyle{ \frac{ab+bc+ca}{3} =9}\)
Reszte pozostawiam tobie
Zauważ, że szukasz takiego rozwiązania
\(\displaystyle{ 9 \le a+b+c < 11}\)
co może zostać rozbite na dwie nierówności
\(\displaystyle{ \begin{cases} 9 \le a+b+c \\ a+b+c < 11\end{cases}}\)
Wtedy, mamy z nierówności trójkąta
\(\displaystyle{ a+b \ge c}\)
oraz
dla założenia, że \(\displaystyle{ a>b}\)
\(\displaystyle{ a-b \le c}\)
Mamy, także z Cauchy'ego, co rozwiń dalej sam
\(\displaystyle{ \frac{ab+bc+ca}{3} =9}\)
Reszte pozostawiam tobie
Zauważ, że szukasz takiego rozwiązania
\(\displaystyle{ 9 \le a+b+c < 11}\)
co może zostać rozbite na dwie nierówności
\(\displaystyle{ \begin{cases} 9 \le a+b+c \\ a+b+c < 11\end{cases}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 57
- Rejestracja: 7 sty 2018, o 19:29
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 31 razy
- Pomógł: 6 razy
Re: Uzasadnić, że obwód trójkąta należy do przedziału
Dzięki wielkie za odpowiedź. Nie wiem czy dobrze rozumuje. Skoro \(\displaystyle{ \frac{ab+bc+ca}{3} =9}\)
to \(\displaystyle{ \sqrt[3]{( abc)^{2} } \le 9}\), co z kolei jest równoważne z \(\displaystyle{ \sqrt[3]{abc} \le 3}\), a z tego wynika, że \(\displaystyle{ \frac{a+b+c}{3} \ge 3}\), czyli \(\displaystyle{ a+b+c \ge 9}\)
Dobrze myślę?
A co z tym, że \(\displaystyle{ a+b+c<11}\)?
Nie mam pomysłu jak wpleść tutaj nierówność trójkąta.
to \(\displaystyle{ \sqrt[3]{( abc)^{2} } \le 9}\), co z kolei jest równoważne z \(\displaystyle{ \sqrt[3]{abc} \le 3}\), a z tego wynika, że \(\displaystyle{ \frac{a+b+c}{3} \ge 3}\), czyli \(\displaystyle{ a+b+c \ge 9}\)
Dobrze myślę?
A co z tym, że \(\displaystyle{ a+b+c<11}\)?
Nie mam pomysłu jak wpleść tutaj nierówność trójkąta.
- Richard del Ferro
- Użytkownik
- Posty: 190
- Rejestracja: 13 mar 2016, o 22:48
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 16 razy
Re: Uzasadnić, że obwód trójkąta należy do przedziału
Użyj nierówności trójkąta, dam ci zalążek
\(\displaystyle{ a+b \ge c}\)
\(\displaystyle{ a+b+c \ge 9}\)
\(\displaystyle{ c+c \ge a+b+c \ge 9}\)
\(\displaystyle{ a+b \ge c}\)
\(\displaystyle{ a+b+c \ge 9}\)
\(\displaystyle{ c+c \ge a+b+c \ge 9}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 57
- Rejestracja: 7 sty 2018, o 19:29
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 31 razy
- Pomógł: 6 razy
Re: Uzasadnić, że obwód trójkąta należy do przedziału
Nie wiem, czy Ty popełniłeś błąd, czy ja czegoś nie rozumiem. \(\displaystyle{ c+c}\) nie może być większe od \(\displaystyle{ a+b+c}\), bo z tego wychodzi, że \(\displaystyle{ c \ge a+b}\), co jest nieprawdą. Mylę się?
-
- Użytkownik
- Posty: 1665
- Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 71 razy
- Pomógł: 445 razy
Uzasadnić, że obwód trójkąta należy do przedziału
Nie, nie wynika.85213 pisze:\(\displaystyle{ \sqrt[3]{abc} \le 3}\), a z tego wynika, że \(\displaystyle{ \frac{a+b+c}{3} \ge 3}\)
Powinieneś udowodnić \(\displaystyle{ 4(ab+bc+ca)>(a+b+c)^2\ge 3(ab+bc+ca)}\)
Prawa nierówność nie powinna stwarzać problemów.
Lewa wynika istotnie z nierówności trójkąta, bo \(\displaystyle{ a+b>c\iff ac+bc>c^2}\) itd.
- Richard del Ferro
- Użytkownik
- Posty: 190
- Rejestracja: 13 mar 2016, o 22:48
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 16 razy
Re: Uzasadnić, że obwód trójkąta należy do przedziału
Jestem jakiś niedzisiejszy, przepraszam, choroba chyba mnie rozbiła.
kagh
kwadratowa arytmetyczna geometryczna harmoniczna
z tego, że geometryczna jest mniejsza lub równa niż 3 wynika jedynie, że tym bardziej harmoniczna jest mniejsza lub równa od 3
\(\displaystyle{ \frac{3}{ \frac{1}{a}+ \frac{1}{b}+ \frac{1}{c} }\le 3}\)
\(\displaystyle{ 1 \le \frac{1}{a}+ \frac{1}{b}+ \frac{1}{c}}\)
\(\displaystyle{ ab+bc+cb \ge abc}\)
Można by zastosować założenie, ale sposób podany wyżej jest lepszy i szybszy
kagh
kwadratowa arytmetyczna geometryczna harmoniczna
z tego, że geometryczna jest mniejsza lub równa niż 3 wynika jedynie, że tym bardziej harmoniczna jest mniejsza lub równa od 3
\(\displaystyle{ \frac{3}{ \frac{1}{a}+ \frac{1}{b}+ \frac{1}{c} }\le 3}\)
\(\displaystyle{ 1 \le \frac{1}{a}+ \frac{1}{b}+ \frac{1}{c}}\)
\(\displaystyle{ ab+bc+cb \ge abc}\)
Można by zastosować założenie, ale sposób podany wyżej jest lepszy i szybszy
-
- Użytkownik
- Posty: 57
- Rejestracja: 7 sty 2018, o 19:29
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 31 razy
- Pomógł: 6 razy
Uzasadnić, że obwód trójkąta należy do przedziału
Udało mi sie udowodnić tą nierówność. Wcześniej cały czas szukałem tej 11, a koniec końców ta nierówność wygląda \(\displaystyle{ 6 \sqrt{3}<a+b+c \le 9}\) Wyciągnę z tego lekcje. Dzięki wielkie!bosa_Nike pisze:Powinieneś udowodnić \(\displaystyle{ 4(ab+bc+ca)>(a+b+c)^2\ge 3(ab+bc+ca)}\)
Prawa nierówność nie powinna stwarzać problemów.
Lewa wynika istotnie z nierówności trójkąta, bo \(\displaystyle{ a+b>c\iff ac+bc>c^2}\) itd.