Wyznaczyć odwrotną transformatę Laplace'a

Równania różniczkowe i całkowe. Równania różnicowe. Transformata Laplace'a i Fouriera oraz ich zastosowanie w równaniach różniczkowych.
damek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 37
Rejestracja: 24 lis 2015, o 18:33
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 22 razy

Wyznaczyć odwrotną transformatę Laplace'a

Post autor: damek »

Cześć, mam problem z tym o to zadaniem:
Należy wyznaczyć odwrotną transformatę Laplace'a funkcji F(s) zadanej w postaci:

\(\displaystyle{ F(s)=\frac{s+2}{ (s+2)^{2}+9}}\)

Doszedłem do czegoś takiego:

\(\displaystyle{ L_{s}^{-1}[ \frac{2}{s^{2}+4s+13} + \frac{s}{s^{2}+4s+13}]}\)

Nigdy w życiu nie miałem styczności z odwrotną transformatą Laplace'a więc prosiłbym o łopatologiczne wytłumaczenie.
Dziękuje z góry

A dodam jeszcze, że wynik to \(\displaystyle{ \frac{1}{2} e ^{(-2-3i)t}(1+ e^{6it})}\)
Tak podpowiada mi WolframAlpha.
Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8570
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 306 razy
Pomógł: 3347 razy

Re: Wyznaczyć odwrotną transformatę Laplace'a

Post autor: kerajs »

Gotowe wzorki:
\(\displaystyle{ L^{-1}\left\{ \frac{s-a}{(s-a)^2+b^2} \right\}=e^{at}\cos bt \\
L^{-1}\left\{ \frac{b}{(s-a)^2+b^2} \right\}=e^{at}\sin bt}\)
damek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 37
Rejestracja: 24 lis 2015, o 18:33
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 22 razy

Re: Wyznaczyć odwrotną transformatę Laplace'a

Post autor: damek »

\(\displaystyle{ L^{-1}\left\{ \frac{s-a}{(s-a)^2+b^2} \right\}=e^{at}\cos bt \\}\)

Okej, więc wynik to:

\(\displaystyle{ e ^{-2t}cos(3t)}\), zgadza się z odpowiedzią w książce.
Ale dlaczego Wolfram pokazuje \(\displaystyle{ \frac{1}{2} e ^{(-2-3i)t}(1+ e^{6it})}\)
To pewnie to samo, ale nie rozumiem...
Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8570
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 306 razy
Pomógł: 3347 razy

Re: Wyznaczyć odwrotną transformatę Laplace'a

Post autor: kerajs »

\(\displaystyle{ \frac{1}{2} e ^{(-2-3i)t}(1+ e^{6it})=\frac{1}{2} e ^{-2t}e ^{-3t}(1+e^{6it})=\\
=\frac{1}{2} e ^{-2t}(\cos 3t+i\sin 3t)(1+\cos 6t+i\sin 6t)=\\=
\frac{1}{2} e ^{-2t}(\cos 3t+i\sin 3t)(1+\cos^2 3t-\sin^23t+i2\sin 3t\cos 3t)=\\=
\frac{1}{2} e ^{-2t}(\cos 3t+i\sin 3t)(2\cos^2 3t+i2\sin 3t\cos 3t)=\\=
e ^{-2t}(\cos 3t+i\sin 3t)(\cos^2 3t+i\sin 3t\cos 3t)=\\=
e ^{-2t}(\cos 3t+i\sin 3t)\cos 3t(\cos 3t+i\sin 3t)=\\= e ^{-2t}\cos 3t(\cos^2 3t-i^2\sin^2 3t)=\\=
e ^{-2t}\cos 3t(\cos^2 3t+\sin^2 3t)= e ^{-2t}\cos 3t}\)
damek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 37
Rejestracja: 24 lis 2015, o 18:33
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 22 razy

Wyznaczyć odwrotną transformatę Laplace'a

Post autor: damek »

Dziękuje za pomoc!
Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8570
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 306 razy
Pomógł: 3347 razy

Re: Wyznaczyć odwrotną transformatę Laplace'a

Post autor: kerajs »

Inaczej:
\(\displaystyle{ F(s)=\frac{s+2}{ (s+2)^{2}+9}=\frac{s+2}{ (s+2)^{2}-(i3)^2}=
\frac{s+2}{ (s+2+i3)(s+2-i3)}=\\= \frac{ \frac{1}{2} }{s+2+i3}+ \frac{ \frac{1}{2}}{s+2-i3}}\)

\(\displaystyle{ L^{-1}\left[ F(s)\right]= L^{-1}\left[ \frac{ \frac{1}{2} }{s+2+i3}+ \frac{ \frac{1}{2}}{s+2-i3}\right]= \frac{1}{2}e^{(-2-i3)t}+ \frac{1}{2}e^{(-2+i3)t}=...}\)
Tu wolfram preferuje postać wykładniczą :
\(\displaystyle{ ...=\frac{1}{2}e^{(-2-i3)t}+ \frac{1}{2}e^{(-2 \red -i3+i3 \black +i3)t}=
\frac{1}{2}e^{(-2-i3)t}+\frac{1}{2}e^{(-2 \red -i3 \black )t} e^{( \red i3 \black +i3)t}=\\=\frac{1}{2}e^{(-2-i3)t}(1+e^{i6t})}\)

zamiast postaci trygonometrycznej:
\(\displaystyle{ ...= \frac{1}{2}e^{-2t} e^{-i3t}+ \frac{1}{2}e^{-2t} e^{i3t}=\frac{1}{2}e^{-2t}\left( e^{-i3t}+e^{i3t}\right) =\frac{1}{2}e^{-2t}\left( \cos (-3t)+i \sin (-3t)+\cos (3t)+i \sin (3t)\right)=\\= \frac{1}{2}e^{-2t}\left( \cos (3t)-i \sin (3t)+\cos (3t)+i \sin (3t)\right)= \frac{1}{2}e^{-2t} 2\cos (3t)=e^{-2t} \cos (3t)}\)
Awatar użytkownika
mortan517
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3359
Rejestracja: 6 lis 2011, o 15:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Krk
Podziękował: 112 razy
Pomógł: 662 razy

Re: Wyznaczyć odwrotną transformatę Laplace'a

Post autor: mortan517 »

Wolfram pokazuje też ten uproszczony wynik, wystarczy zjechać niżej.
ODPOWIEDZ