Wzór na liczby pierwsze?

[zr3456]

Sformułowałeś stwierdzenie, ale nic z niego nie wynika. Po pierwsze co oznacza sformułowanie "przy najmniejszej ilości ..."

Sformułowanie to oznacza co oznacza.

Po drugie jakie jest praktyczne zastosowanie tego wzoru? Czy jak będę wyliczał kolejne wyrazy i trafię na liczbę pierwszą, to zapali mi się gwiazdka na niebie albo zadźwięczy dzwoneczek?

Zauważ, że tytuł posta Wzór na liczby pierwsze? jest ze znakiem zapytania. Po drugie, inne "wzory" na liczby pierwsze są tak samo praktyczne, czyli praktycznie niepraktyczne; praktyczne dla wyszukiwania liczb pierwszych jest sito Eratostenesa i jego udoskonalenia.

[leg14]

Ściśle zdefiniuj, co oznacza „przy najmniejszej ilości”. Inaczej nie ma mowy o żadnym Twierdzeniu.

[zr3456]

Twój wzór też jest algorytmem w takim razie.

1. Wszystko jest algorytmem, twoja wypowiedź także.

Dodam, że nastąpiło małe nieporozumienie, bo mój "kontrprzykład" podałem do stwierdzenia:
"wszystkie liczby pierwsze przy najmniejszej ilości otrzymywanych liczb całkowitych nie będących liczbami pierwszymi."

Oczywiście nie jest on kontrprzykładem do stwierdzenia:

Współczynnik \(\displaystyle{ A= 24}\) jest największym współczynnikiem wyrażeń typu \(\displaystyle{ \sqrt{(Ar+ 1)}}\) dającym w liczbach całkowitych wszystkie liczby pierwsze przy najmniejszej ilości otrzymywanych liczb całkowitych nie będących liczbami pierwszymi.

Jeżeli rozważamy stw. nr 2, to podpinam się pod uwagi a4karo.

2. To ciekawe, podałeś jakiś kontrprzykład i wtedy rozumiałeś co oznacza stwierdzenie" przy najmniejszej ilości otrzymywanych liczb", a mojego identycznego sformułowania nie rozumiesz i gdzie tu logika?

[a4karo]

Tak, gdzie zaczyna się bełkot, kończy się matematyka.

[leg14]

To ciekawe, podałeś jakiś kontrprzykład i wtedy rozumiałeś co oznacza stwierdzenie "przy najmniejszej ilosci otrzymywanych liczb", a mojego identycznego sformułowania nie rozumiesz i gdzie tu logika?

No tak, bo u mnie było zero otrzymywanych liczb, które nie są liczbami pierwszymi (w przeciwieństwei do Twojej metody, gdzie otrzymywanych „złych liczb” było nieskończenie wiele). Zatem jakkolwiek byś nie zdefiniował "przy najmniejszej ..." mój wzór musiałby być istotnie lepszy. I dzięki temu sprawiał, że cała dyskusja o interpretacji stwierdzenia "przy najmniejszej ..." stawała się niepotrzebna.

[zr3456]

Ściśle zdefiniuj, co oznacza „przy najmniejszej ilości”. Inaczej nie ma mowy o żadnym Twierdzeniu

Jakbym przewidział, to co napisałeś, pisząc w międzyczasie mój post z 23:23. To jest hipoteza, nie twierdzenie.

[leg14]

Hipoteza to w gruncie rzeczy nieudowodnione twierdzenie, a zatem musi być ściśle sofrmułowana, inaczej nie ma o czym gadać.

[zr3456]

Tak, gdzie zaczyna się bełkot kończy się matematyka.

Odnoszę wrażenie, że niektórym chodzi czasami tylko o "nabijanie" ilości postów.

[leg14]

Odnoszę wrażenie, że niektórym chodzi czasami tylko o "nabijanie" ilości postów.

Niezły przykład hipokryzji.

[zr3456]

To ciekawe, podałeś jakiś kontrprzykład i wtedy rozumiałeś co oznacza stwierdzenie "przy najmniejszej ilosci otrzymywanych liczb", a mojego identycznego sformułowania nie rozumiesz i gdzie tu logika?

No tak, bo u mnie było zero otrzymywanych liczb, które nie są liczbami pierwszymi (w przeciwieństwei do Twojej metody, gdzie otrzymywanych „złych liczb” było nieskończenie wiele). Zatem jakkolwiek byś nie zdefiniował "przy najmniejszej ..." mój wzór musiałby być istotnie lepszy. I dzięki temu sprawiał, że cała dyskusja o interpretacji stwierdzenia "przy najmniejszej ..." stawała się niepotrzebna.

Wyluzuj, podałeś "swój" wzór i ja się zgadzam, że jest najlepszy (na razie go nie sprawdzałem); nie rozumiem tylko stwierdzenia "mój wzór musiałby? być istotnie lepszy" tj. czy byłby lepszy czy może jest; ale mniejsza o to.
1. Ja w pkt. 2 jasno sformułowałem hipotezę.
2. Wzór na l.p. ? nie jest moją metodą.
3. Mam konkretne pytanie, czy zacytowane przez ciebie wzory dają wszystkie liczby pierwsze, bo z pobieżnego opisu wynika że nie.

[leg14]

1.Ja w pkt. 2 jasno sformułowałem hipotezę;

Nie sformułowałeś jasno - właśnie to staramy Ci się z a4karo wytłumaczyć.

3. Mam konkretne pytanie, czy zacytowane przez ciebie wzory dają wszystkie liczby pierwsze, bo z pobieżnego opisu wynika że nie.

Pierwszy na pewno daje, reszty nie czytałem.

nie rozumiem tylko stwierdzenia "mój wzór musiałby? być istotnie lepszy" tj. czy byłby lepszy czy może jest; ale mniejsza o to.

Chodzi o to, że nieważne co dokładnie się kryje za stwierdzeniem "przy najmniejszej ...", podany przeze mnie wzór musi podawać mniej liczb, które nie są pierwsze, bo podaje ich zero, a Twój wzór podaje takich „złych” liczb nieskończenie wiele. Dlatego nie musiałem się zastanawiać, co masz na myśli mówiąc „najmniejsza liczba otrzymywanych liczb, które nie są pierwszymi”.

[a4karo]

Wzór na liczby pierwsze?

1. Liczby całkowite otrzymane w wyniku pierwiastkowania wyrażenia
\(\displaystyle{ (24r+ 1)}\) zawierają wszystkie liczby pierwsze \(\displaystyle{ >3}\) ,\(\displaystyle{ r}\)-liczby naturalne
\(\displaystyle{ p= \sqrt{(24r+ 1)}}\)
dla \(\displaystyle{ r=1,p=5}\)
\(\displaystyle{ r=2,p=7\\
r=5,p=11}\)
\(\displaystyle{ r=7,p=13}\) itd.

2. Współczynnik \(\displaystyle{ A= 24}\) jest największym współczynnikiem wyrażeń typu \(\displaystyle{ \sqrt{(Ar+ 1)}}\) dającym w liczbach całkowitych wszystkie liczby pierwsze przy najmniejszej ilości otrzymywanych liczb całkowitych nie będących liczbami pierwszymi.
Inne \(\displaystyle{ A=3,A=4,A=6,A=8}\) .

Wnioski:
1) pkt.2 jest hipotezą.
2) ze wzoru wynika (?) ,że liczby pierwsze "leżą" na "dodatniej połówce" paraboli o osi symetrii OX
3) ewentualny wzór ścisły podający tylko liczby pierwsze powinien (?) jakoś "współgrać " ze wzorem \(\displaystyle{ p= \sqrt{(24r+ 1)}}\) .

Spróbujmy sformułować to stwierdzenie w języku trochę bardziej matematycznym:
Każda liczba pierwsza \(\displaystyle{ p>3}\) jest postaci \(\displaystyle{ \sqrt{24r+1}}\) .

Zobaczmy ile w tym jest nowości:
Każda liczba pierwsza większa niż \(\displaystyle{ 3}\) jest postaci \(\displaystyle{ p=6m\pm 1}\) . Wobec tego:
\(\displaystyle{ p^2=(6m\pm 1)^2=36m^2\pm 12m+1=24m^2+12(m^2\pm m)+1}\) jest postaci \(\displaystyle{ 24r+1}\) , bo liczba \(\displaystyle{ m^2\pm m}\) jest zawsze parzysta.

Na odwrót: niech \(\displaystyle{ \sqrt{24r+1}}\) będzie liczbą całkowitą. Ponieważ \(\displaystyle{ 24r+1}\) jest nieparzyste, to ten pierwiastek też będzie nieparzysty.
Mamy \(\displaystyle{ 24r+1=(2k+1)^2=4k^2+4k+1}\) , zatem \(\displaystyle{ 24r=4k(k+1)}\) .
Aby ta równość zachodziła liczba \(\displaystyle{ k(k+1)}\) (która jest parzysta) musi być podzielna przez \(\displaystyle{ 3}\) , skąd wynika, że \(\displaystyle{ k=3m}\) lub \(\displaystyle{ k+1=3m}\) , a zatem \(\displaystyle{ 2k+1=6m+1}\) lub \(\displaystyle{ 2k+1=6m-1}\) .

Wniosek: \(\displaystyle{ \sqrt{24r+1}}\) jest liczbą całkowita wtedy i tylko wtedy gdy jest ona postaci \(\displaystyle{ 6m\pm 1}\) . I to już koniec rewelacji.


Ciekawe ile czasu zajmie Ci sprawdzenie, czy liczba \(\displaystyle{ \sqrt{24\cdot 2212121267835336751281813+1}}\) jest całkowita.

Myślę, że jeżeli chcesz jeszcze na ten temat dyskutować, to powinieneś zdecydowanie poczytać trochę literatury (ale o tym pisałem na samym początku tego wątku).

[pesel]

Kod: Zaznacz cały

https://math.stackexchange.com/questions/21748/does-the-formula-sqrt-1-24n-always-yield-prime

[zr3456]

Wniosek: \(\displaystyle{ \sqrt{24r+1}}\) jest liczbą całkowita wtedy i tylko wtedy gdy jest ona postaci \(\displaystyle{ 6m\pm 1}\). I to już koniec rewelacji.

1. To jest ciekawy, ale prosty teorio-liczbowy trick. Umiesz go udowodnić?
I nie jest to wzór na liczby pierwsze, bo równie dobrze mógłbyś powiedzieć, że \(\displaystyle{ f(n)=n}\) jest wzorem na liczby pierwsze, bo daje wszystkie liczby pierwsze.

\(\displaystyle{ p=6r \pm 1}\) . O to ci chodziło ?

a4karo, pesel; Jak myślicie po co to napisałem dla leg14? Dla uściślenia \(\displaystyle{ r= 1,2,3,4...}\) .

-- 8 sty 2018, o 01:15 --

nie rozumiem tylko stwierdzenia "mój wzór musiałby? być istotnie lepszy" tj. czy byłby lepszy czy może jest; ale mniejsza o to.

Chodzi o to, że nieważne co dokładnie się kryje za stwierdzeniem "przy najmniejszej ...", podany przeze mnie wzór musi podawać mniej liczb, które nie są pierwsze, bo podaje ich zero, a Twój wzór podaje takich „złych” liczb nieskończenie wiele. Dlatego nie musiałem się zastanawiać, co masz na myśli mówiąc „najmniejsza liczba otrzymywanych liczb, które nie są pierwszymi”.

Cyt. z www. math.edu
Kryterium Wilsona dla liczb pierwszych:
Jeżeli dla liczby naturalnej \(\displaystyle{ n>1}\) liczba \(\displaystyle{ (n-1)!+1}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ n}\) , to \(\displaystyle{ n}\) musi być liczbą pierwszą. Gdyby \(\displaystyle{ n}\) było liczbą złożoną, to \(\displaystyle{ n=ab}\) , gdzie \(\displaystyle{ 1<a, b<n}\) i liczba \(\displaystyle{ a}\) byłaby jednym z czynników iloczynu \(\displaystyle{ 1 \cdot 2 \cdot … \cdot (n-1)}\) , a więc liczba \(\displaystyle{ (n-1)!+1}\) przy dzieleniu przez \(\displaystyle{ a}\) dawałaby resztę \(\displaystyle{ 1}\) . Zachodzi sprzeczność, ponieważ będąc podzielną przez \(\displaystyle{ n}\) , musi być podzielna przez \(\displaystyle{ a}\) , dowodzi to, że liczba \(\displaystyle{ n}\) musi być pierwszą.
Na to, aby liczba naturalna większa od \(\displaystyle{ 1}\) była liczbą pierwszą, potrzeba i wystarcza, aby liczba \(\displaystyle{ (n-1)!+1}\) była podzielna przez \(\displaystyle{ n}\) . W odróżnieniu od kryterium Fermata warunek Wilsona jest jednocześnie konieczny i wystarczający. Teoretycznie, za pomocą jednego tylko dzielenia możemy się przekonać, czy liczba jest, czy też nie jest pierwszą. Praktycznie warunek znaczenia wielkiego nie ma, ponieważ nie jest znany algorytm do szybkiego obliczania liczby \(\displaystyle{ n!}\) .
Na podstawie tego mam poważne wątpliwości, czy twoje stwierdzenie podany przeze mnie wzór musi podawać mniej liczb, które nie są pierwsze, bo podaje ich zero, jest prawdziwe leg14.

[leg14]

Dlaczego? Przecież to, co napisałeś, tylko potwierdza moje słowa.