Obliczyć granicę funkcji

[n3r0]

Witam mam taką funkcję do policzenia:

\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \left( \frac{\tg \left( x \right) }{x} \right) ^{\frac{1}{x}}}\)

Spróbowałem ją zapisać jako: \(\displaystyle{ e^{\frac{1}{x} \cdot \ln \left( \frac{\tg x}{x} \right) }}\) ,
a następnie policzyć pochodną, ale po prostu nie daje mi to zamierzonego efektu, gdyż bardzo bardzo łatwo pogubić się w rachunkach i potem przez długi czas nie można zlokalizować błędu. Jest jakiś łatwiejszy sposób na rozwiązanie tego zadania?

[Premislav]

Skorzystamy z następującego faktu: jeśli
\(\displaystyle{ \lim_{x \to x_0} f(x)=0, \ \lim_{x\to x_0}g(x)=+\infty, \ \lim_{x \to x_0} f(x)g(x)=g \in \RR}\) , to
\(\displaystyle{ \lim_{x \to x_0}\left( 1+f(x)\right)^{g(x)}=\exp(g)}\)
dla \(\displaystyle{ x_0=0, f(x)=\tg(x)-x, \ g(x)=\frac{1}{x}}\)
Mianowicie:
\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \frac{\tg (x)-x}{x}=[H]= \lim_{x \to 0}\left( \frac{1}{\cos^2(x)}-1\right) =0}\) , więc wynikiem jest
\(\displaystyle{ \exp(0)=1}\) .

Trochę (niewiele) ciekawiej jest z
\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \left(\frac{\tg(x)}{x}\right)^{\frac{1}{x^2}}}\) ,
można to zrobić tą samą metodą.

[Janusz Tracz]

Albo można tak:

po pierwsze

\(\displaystyle{ x \le \tg x \Rightarrow 1 \le \frac{\tg x}{x}}\)

po drugie

\(\displaystyle{ \frac{\sin x}{x} \le 1 \Rightarrow \frac{\tg x}{x} \le \frac{1}{\cos x}}\)

dlatego dla \(\displaystyle{ x \ge 0}\) (dla \(\displaystyle{ x \le 0}\) nierówność zmienia znak nie ma to jednak znaczenia przy użyciu tw. o 3 funkcjach.)

\(\displaystyle{ 1 \le \left( \frac{\tg x}{x}\right)^{ \frac{1}{x} } \le \left( \frac{1}{\cos x}\right)^{ \frac{1}{x} }}\)

Zauważmy teraz że szacując \(\displaystyle{ \cos x}\) wielomianem Taylora zapiszemy

\(\displaystyle{ \left( \frac{1}{\cos x}\right)^{\frac{1}{x}} \le \frac{1}{\left( 1- \frac{x^2}{2} \right)^{ \frac{1}{x} } }}\)

mamy więc szacowanie

\(\displaystyle{ 1 \le \left( \frac{\tg x}{x}\right)^{ \frac{1}{x} } \le \frac{1}{\left( 1- \frac{x^2}{2} \right)^{ \frac{1}{x} } } \rightarrow 1}\)
co kończy zadanie.