Badanie własności relacji

[Monikasm98]

Mam problem z zadaniem: Zbadaj własności relacji \(\displaystyle{ (n _{1},k _{1})R(n _{2},k _{2}) \Leftrightarrow n _{2} \mid k _{1} \wedge n _{1} \ge k _{2}}\)

Należy zbadać czy relacja jest zwrotna, symetryczna, słabosymetryczna, przechodnia i spójna.
Znam definicje, ale nie mam pojęcia jak je zastosować do tego zadania :/

[jmb]

Moim zdaniem brakuje informacji, z jakiego zbioru wybieramy pary \(\displaystyle{ (n_{i},k_{i})}\)
Jeśli założymy, że pary te wybieramy z \(\displaystyle{ \mathbb{N}_{+}^{2}}\), to skoro znasz definicje własności, to od razu możesz stwierdzić, że relacja nie jest zwrotna, gdyż warunek \(\displaystyle{ (n_{i},k_{i})R(n_{i},k_{i})}\) zachodzi tylko dla \(\displaystyle{ n_{i}=k_{i}}\).
Gdyby z kolei założyć, że zbiorem par jest zbiór \(\displaystyle{ \mathbb{N}^{2}}\), to widać by było, że żadna para nie mogłaby pozostawać w tej relacji z parą typu \(\displaystyle{ (0, n)}\), a w związku z tym para typu \(\displaystyle{ (0,n)}\) nie mogłaby pozostawać w tej relacji sama ze sobą i warunek zwrotności nie byłby spełniony.
Gdybym z kolei założyła, że zbiór, do którego należą pary to \(\displaystyle{ X=\lbrace(1,2),(2,1)\rbrace}\), to łatwo byłoby zauważyć, że żadna para nie pozostaje w relacji sama ze sobą.
Przy podanych trzech sposobach zdefiniowania zbioru, do którego należą pary inaczej ocenimy symetryczność/antysymetryczność/ słaboantysymetryczność.

Trzeba wiedzieć, do jakiego zbioru należą pary.

[Jan Kraszewski]

Moim zdaniem brakuje informacji, z jakiego zbioru wybieramy pary \(\displaystyle{ (n_{i},k_{i})}\)

Zgadza się. Zapytam się też - czy ta relacja na pewno wygląda właśnie tak?

Jeśli założymy, że pary te wybieramy z \(\displaystyle{ \mathbb{N}_{+}^{2}}\), to skoro znasz definicje własności, to od razu możesz stwierdzić, że relacja nie jest zwrotna, gdyż warunek \(\displaystyle{ (n_{i},k_{i})R(n_{i},k_{i})}\) zachodzi tylko dla \(\displaystyle{ n_{i}=k_{i}}\).

Dla porządku dodam, że brak zwrotności uzasadniamy wskazując kontrprzykład.

Gdyby z kolei założyć, że zbiorem par jest zbiór \(\displaystyle{ \mathbb{N}^{2}}\), to widać by było, że żadna para nie mogłaby pozostawać w tej relacji z parą typu \(\displaystyle{ (0, n)}\), a w związku z tym para typu \(\displaystyle{ (0,n)}\) nie mogłaby pozostawać w tej relacji sama ze sobą

Ten wniosek akurat nie jest poprawny (bo \(\displaystyle{ (0,0)R(0,0)}\)), poza tym jest zbędny, bo kontrprzykład z poprzedniego przypadku będzie działał i w tym.

Gdybym z kolei założyła, że zbiór, do którego należą pary to \(\displaystyle{ X=\lbrace(1,2),(2,1)\rbrace}\), to łatwo byłoby zauważyć, że żadna para nie pozostaje w relacji sama ze sobą.

Także ta uwaga nie wnosi do rozważań nic nowego.

JK

[Monikasm98]

W treści zadania jest tylko informacja \(\displaystyle{ (n _{1},k _{1}),(n _{2} ,k _{2} ) \in \mathbb{N} \setminus \{0 \rbrace}\)
Relacja zapisana jest poprawnie. Rozumiem, że relacja nie jest zwrotna, jednak nie mam pojęcia jak sprawdzić czy jest symetryczna :/

[Jan Kraszewski]

W treści zadania jest tylko informacja \(\displaystyle{ (n _{1},k _{1}),(n _{2} ,k _{2} ) \in \mathbb{N} \setminus \{0 \rbrace}\)

No takiej informacji raczej nie ma, bo taka informacja nie ma sensu. Zapewne informacja wygląda tak:

\(\displaystyle{ (n _{1},k _{1}),(n _{2} ,k _{2} ) \in \left( \mathbb{N} \setminus \{0 \rbrace\right)^{\red 2}}\).

Rozumiem, że relacja nie jest zwrotna,

Ale powinnaś jeszcze dopisać uzasadnienie.

jednak nie mam pojęcia jak sprawdzić czy jest symetryczna :/

Zacząć próbować - taka wiedza nie spada z nieba. Przydatne jest zrozumienie, czym jest symetria relacji oraz zrozumienie samej relacji - to zazwyczaj wystarcza do wskazania poprawnej odpowiedzi (którą trzeba jeszcze uzasadnić). A jeśli nadal nie wiesz, to sprawdź kilka konkretnych przypadków - może coś zauważysz?

JK

[Monikasm98]

Informacja niestety wygląda tak jak zapisałam, treść zadania sprawdziłam jeszcze raz wszystko jest poprawnie, możliwe że w treści zadania jest po prostu błąd, niedopatrzenie autora. Dziękuję za wskazówki, spróbuję nad tym jeszcze pomyśleć

[jmb]

Ten wniosek akurat nie jest poprawny (bo \(\displaystyle{ (0,0)R(0,0)}\)), poza tym jest zbędny, bo kontrprzykład z poprzedniego przypadku będzie działał i w tym.
JK

wiedziałam, że lepiej byłoby mi zająć się uprawą porzeczek... do głowy by mi nie przyszło, że \(\displaystyle{ 0|0}\)
W kwestii zbędności przykładu - chodziło mi o pokazanie różnych możliwości. Pewnie gdybym zaczęła od zbioru \(\displaystyle{ \mathbb{N}^2}\), to lepiej byłoby widać, że łatwo znaleziony kontrprzykład nie zadziała, jeśli założymy z kolei zbiór \(\displaystyle{ (\mathbb{N} \setminus \lbrace0\rbrace)^2}\)-- 30 gru 2017, o 17:01 --

Gdybym z kolei założyła, że zbiór, do którego należą pary to \(\displaystyle{ X=\lbrace(1,2),(2,1)\rbrace}\), to łatwo byłoby zauważyć, że żadna para nie pozostaje w relacji sama ze sobą.

Także ta uwaga nie wnosi do rozważań nic nowego.
JK

A jednak wnosi. Wystarczy, że nie ograniczymy się do stwierdzenia, czy prawdą jest, że relacja jest zwrotna, ale spróbujemy odpowiedzieć też na inne pytania: czy jest przeciwzwrotna? czy jest niezwrotna? (w literaturze można spotkać się z różnym nazewnictwem: antyzwrotna, nonzwrotna).

[Jan Kraszewski]

W kwestii zbędności przykładu - chodziło mi o pokazanie różnych możliwości. Pewnie gdybym zaczęła od zbioru \(\displaystyle{ \mathbb{N}^2}\), to lepiej byłoby widać, że łatwo znaleziony kontrprzykład nie zadziała, jeśli założymy z kolei zbiór \(\displaystyle{ (\mathbb{N} \setminus \lbrace0\rbrace)^2}\)

OK, choć brakowało mi podkreślenia, że tak naprawdę argumentem jest wskazanie konkretnego kontrprzykładu.

A jednak wnosi. Wystarczy, że nie ograniczymy się do stwierdzenia, czy prawdą jest, że relacja jest zwrotna, ale spróbujemy odpowiedzieć też na inne pytania: czy jest przeciwzwrotna?

OK, choć w kontekście tego konkretnego zadania jest to raczej nietrafione, bo ciężko się spodziewać, że relacja została podana bez zbioru, na którym jest określona. Ale rozumiem cel tego przykładu.

czy jest niezwrotna? (w literaturze można spotkać się z różnym nazewnictwem: antyzwrotna, nonzwrotna).

Tu trzeba uważać, lepiej zawsze podać definicję. Nie spotkałem się z żadnym z tych trzech określeń - przeciwzwrotność jest raczej utrwalonym terminem - choć antyzwrotność też do przeciwzwrotności pasuje. Natomiast niezwrotność/nonzwrotność to dla mnie jakieś dziwolągi - co miałyby oznaczać?

JK

[jmb]

czy jest niezwrotna? (w literaturze można spotkać się z różnym nazewnictwem: antyzwrotna, nonzwrotna).

Tu trzeba uważać, lepiej zawsze podać definicję. Nie spotkałem się z żadnym z tych trzech określeń - przeciwzwrotność jest raczej utrwalonym terminem - choć antyzwrotność też do przeciwzwrotności pasuje. Natomiast niezwrotność/nonzwrotność to dla mnie jakieś dziwolągi - co miałyby oznaczać?

JK

Już się poprawiam.
Definicję relacji przeciwzwrotnej (irrefleksywnej) podaje L. Borkowski w "Elementy logiki formalnej" - jako takiej relacji, że żaden element pola tej relacji nie pozostaje w tej relacji do siebie.
Definicję relacji azwrotnej (przeciwzwrotnej) podaje S. Lewandowski w książce, pt. "Logika dla prawników", rozdział V "Elementy teorii relacji.". Jest to taka relacja, w której żaden element zbioru nie pozostaje w relacji sam ze sobą. Z kolei występująca w tej samej książce definicja relacji nonzwrotnej (niezwrotnej) podaje, że relacja nonzwrotna (zwrotna nieregularnie) to taka, że pewne elementy zbioru pozostają w tej relacji same ze sobą, inne zaś nie.

[Jan Kraszewski]

Definicję relacji azwrotnej (przeciwzwrotnej) podaje S. Lewandowski w książce, pt. "Logika dla prawników", rozdział V "Elementy teorii relacji.". Jest to taka relacja, w której żaden element zbioru nie pozostaje w relacji sam ze sobą. Z kolei występująca w tej samej książce definicja relacji nonzwrotnej (niezwrotnej) podaje, że relacja nonzwrotna (zwrotna nieregularnie) to taka, że pewne elementy zbioru pozostają w tej relacji same ze sobą, inne zaś nie.

To jest dla mnie nazewnicza twórczość własna autora tego podręcznika. Nigdzie w podręczniku matematycznym (z całym szacunkiem, ale powyższego podręcznika do takowych nie zaliczam) nie spotkałem się z nazwą "azwrotność", podobnie jak z "nonzwrotnością", której definicja jest ponadto zupełnie zbędnym mnożeniem bytów.

JK

[jmb]

To jest dla mnie nazewnicza twórczość własna autora tego podręcznika. Nigdzie w podręczniku matematycznym (z całym szacunkiem, ale powyższego podręcznika do takowych nie zaliczam) nie spotkałem się z nazwą "azwrotność", podobnie jak z "nonzwrotnością", której definicja jest ponadto zupełnie zbędnym mnożeniem bytów.

JK

Zgadzam się z Panem całkowicie w kwestii zbędnej nazwotwórczości dla tych samych własności relacji.
Poza tym, mając świadomość, że rozmowa toczy się na forum matematycznym, proponuję potraktować tylko jako ciekawostkę to, że wyróżnianie relacji o własnościach nieinteresujących dla matematyków, może być jednak dla kogoś (filozofa? kognitywisty? lingwisty? prawnika?) interesujące