Nierówność dla a>-1

[Ogorek00]

\(\displaystyle{ (a+1)^{n} \ge 1 + na + \frac{n(n-1)}{2} \cdot a^{2} + \frac{n(n-1)(n-2)}{6} \cdot a^{3}}\)

[Premislav]

Indukcja po \(\displaystyle{ n \in \NN^+}\).
Dla \(\displaystyle{ n=1}\) jest to prawda, a konkretnie dostajemy równość \(\displaystyle{ 1+a=1+a}\).
Dla \(\displaystyle{ n=2}\) dostajemy
\(\displaystyle{ (1+a)^2=1+2a+a^2}\), czyli też się zgadza (sprawdzam n=2, bo chyba mój drugi krok indukcyjny nie działa od \(\displaystyle{ n=1}\) do \(\displaystyle{ n=2}\)).
Teraz drugi krok indukcyjny:
jeżeli dla pewnego \(\displaystyle{ n \in \NN^+, \ n\ge 2}\) mamy
\(\displaystyle{ (a+1)^{n} \ge 1 + na + \frac{n(n-1)}{2} a^{2} + \frac{n(n-1)(n-2)}{6} a^{3}}\),
to
\(\displaystyle{ (a+1)^{n+1}=(1+a)^n(1+a) \ge (1+a)\left( 1 + na + \frac{n(n-1)}{2} a^{2} + \frac{n(n-1)(n-2)}{6} a^{3}\right)=\\=1 + na + \frac{n(n-1)}{2} a^{2} + \frac{n(n-1)(n-2)}{6} a^{3}+a+na^2+\frac{n(n-1)}{2}a^3+\frac{n(n-1)(n-2)}{6}a^4=\\=1+(n+1)a+ \frac{(n+1)n}{2}a^2+ \frac{(n+1)n(n-1)}{6}a^3+\frac{n(n-1)(n-2)}{6}a^4 \ge \\ \ge 1+(n+1)a+ \frac{(n+1)n}{2}a^2+ \frac{(n+1)n(n-1)}{6}a^3}\)

[pawel1216]

@Premislav Mógłbyś mi wytłumaczyć dlaczego w kroku drugim obie strony przemnożyłeś przez (1+a)? Rozumiem, że jeżeli zwiększymy n o 1 to można tak zapisać lewą stronę, ale przecież po drugiej stronie zwiększając n o 1 dzieje się coś innego, nie rozumiem tego

[a4karo]

Przecież nie mnożył obu stron. Zaczął od \(\displaystyle{ (1+a)^{n+1}=(1+a)^n(1+a)}\) i teraz wykorzystał założenie indukcyjne (tzn zamiast \(\displaystyle{ (1+a)^n}\) napisał odpowiednią nierówność i prawa stronę założenia indukcyjnego.