Rozwiązać równanie trzeciego stopnia.

[Jakubb21]

Rozwiązać takie oto równanie. Proszę o wyszczególnienie poszczególnych etapów.
\(\displaystyle{ Q(x)= x^{3}-9x^{2}+28x-20}\)

[Premislav]

Najpierw użyj twierdzenia o pierwiastkach wymiernych wielomianu o współczynnikach całkowitych; sprawdzając przypadki, dostrzeżesz, że \(\displaystyle{ Q(1)=0}\). A dalej podziel ten wielomian przez \(\displaystyle{ x-1}\) (np. pisemnie) i dostaniesz do rozłożenia trójmian kwadratowy (delta itd.).

[Mariusz M]

Premislav, twierdzisz że nie lubisz zgadywania a tutaj je proponujesz

Do tego równania można podejść na dwa sposoby które uogólniają się
na równanie czwartego stopnia

\(\displaystyle{ x^{3}-9x^{2}+28x-20=0}\)

Zacznijmy od wyrugowania wyrazu z \(\displaystyle{ x^2}\)

Możemy użyć albo podstawienia albo schematu Hornera

\(\displaystyle{ \begin{tabular}{c|c|c|c|c|c} &1&-9&28&-20\\ \hline 3&1&-6&10&10 \\ \hline 3&1&-3&1& \\ \hline 3&1&0&&\\ \hline 3&1&&&\\ \hline \end{tabular}}\)

\(\displaystyle{ \left( x-3\right)^3+\left( x-3\right)+10=0}\)

1.

\(\displaystyle{ y=x-3\\
y^3+y+10=0\\
y^3=-y-10\\
y^3+3y^2z+3yz^2+z^3=3y^2z+3yz^2+z^3-y-10\\
\left( y+z\right)^3=y\left( 3yz+3z^2-1\right)+z^3-10\\
3yz+3z^2-1=0\\
3z\left( y+z\right)-1=0\\
y+z=\frac{1}{3z}\\
\frac{1}{27z^3} =z^3-10\\
z^3-10-\frac{1}{27z^3}=0\\
z^6-10z^3-\frac{1}{27}=0\\
\left( z^3-5\right)^2-\frac{676 \cdot 3}{81}=0\\
\left( z^3-\frac{45-26 \sqrt{3} }{9}\right)\left( z^3-\frac{45+26 \sqrt{3} }{9}\right)=0\\
\left( z^3-\frac{135-78 \sqrt{3} }{27}\right)\left( z^3-\frac{135+78 \sqrt{3} }{27}\right)=0\\
z=\frac{1}{3} \cdot \sqrt[3]{135+78 \sqrt{3}} \\
y+z=\frac{1}{3z}\\
y=-z+\frac{1}{3z}\\
y=-\frac{1}{3}\sqrt[3]{135+78 \sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt[3]{135+78 \sqrt{3}}}\\
x=-\frac{1}{3}\sqrt[3]{135+78 \sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt[3]{135+78 \sqrt{3}}}+3\\
x=-\frac{1}{3} \cdot \left( 3+2 \sqrt{3} \right) -\frac{1}{3+2 \sqrt{3} }+3\\
x=-\frac{1}{3} \cdot \left( 3+2 \sqrt{3} \right)-\frac{1}{3}\left( 3-2 \sqrt{3} \right)+3\\
x=-\frac{1}{3}\left( \left(3-2 \sqrt{3} \right)+\left( 3+2 \sqrt{3} \right) \right)+3\\
x=-2+3\\
x=1\\}\)

2.

\(\displaystyle{ y=x-3\\
y^3+y+10=0\\
y=u+v\\
\left( u+v\right)^3+\left( u+v\right)+10=0\\
u^3+3u^2v+3uv^2+v^3+\left( u+v\right)+10=0\\
u^3+v^3+10+3u^2v+3uv^2+\left( u+v\right)=0\\
u^3+v^3+10+3uv\left(u+v \right) +\left( u+v\right)=0\\
u^3+v^3+10+\left( u+v\right)\left( 3uv+1\right)=0\\
\begin{cases} u^3+v^3+10=0 \\ 3uv+1=0 \end{cases} \\
\begin{cases} u^3+v^3=-10 \\ uv=-\frac{1}{3} \end{cases} \\
\begin{cases} u^3+v^3=-10 \\ u^3v^3=-\frac{1}{27} \end{cases} \\
t^2+10t-\frac{1}{27}=0\\
\left( t+5\right)^2-\frac{676 \cdot 3}{81}=0\\
\left( t+\frac{45+26 \sqrt{3} }{9}\right)\left( t+\frac{45-26 \sqrt{3} }{9}\right)=0\\
\left( t+\frac{135+78 \sqrt{3} }{27}\right)\left( t+\frac{135-78 \sqrt{3} }{27}\right)=0\\
y=\frac{1}{3}\left( \sqrt[3]{-135-78 \sqrt{3}}+ \sqrt[3]{-135+78 \sqrt{3}} \right)\\
x=\frac{1}{3}\left( \sqrt[3]{-135-78 \sqrt{3}}+ \sqrt[3]{-135+78 \sqrt{3}} +9 \right)\\}\)

[a4karo]

mariuszm, to chwalebne- znać takie metody. Ale czy naprawdę uważasz, że twoja metoda jest lepsza zwłaszcza na kolokwium?

Czy naprawdę tak byś rozkładał na ułamek proste \(\displaystyle{ (x^2-2x)/Q(x)}\)?

[arek1357]

To tak jakbym strzelał do wróbla z dum dum...

[PoweredDragon]

To tak jakbyś próbował atomówką bakterie załatwić. Nie przebierajmy w słowach. Twierdzenie o pierwiastkach wymiernych nie jest, bynajmniej, zgadywaniem. Jest to najprostsza metoda na rozwiązanie prostszych równań. Dopiero kiedy i ona nie pomoże, można posiłkować się innymi metodami (typu wzory Cardano).

[Mariusz M]

a4karo, dla mnie pomysł zaproponowany przez Przemysława jest zgadywaniem
działa tylko dla pierwiastków wymiernych , nie zawsze jest szybsze
(Tutaj względnie łatwo zgadnąć ale gdyby tych dzielników było więcej ?)

Całkowitych pierwiastków można by szukać binarnie dałoby to
logarytmiczną złożoność ale co z wymiernymi

Twierdzenie o pierwiastkach wymiernych nie jest, bynajmniej, zgadywaniem.

Jak to nie jest zgadywaniem skoro nie wiesz jakie dzielniki pasują
i nawet nie masz pewności że takie dzielniki znajdziesz

[Janusz Tracz]

pomysł zaproponowany przez Przemysława jest zgadywaniem
działa tylko dla pierwiastków wymiernych

Skoro wiadomo że działa dla pierwiastków wymiernych (w dodatku jest skończenie wiele kandydatów) to jak można to nazwać zgadywaniem...
To jest po prostu twierdzenie o pierwiastkach wymiernych wielomianu w czystej użytkowej postaci.

nie zawsze jest szybsze...ale gdyby tych dzielników było więcej ?

Ale tu jest. Gdyby babcia miała wąsy to wzory Cardana by się przydały.

[a4karo]

a4karo, dla mnie pomysł zaproponowany przez Przemysława jest zgadywaniem
działa tylko dla pierwiastków wymiernych , nie zawsze jest szybsze
(Tutaj względnie łatwo zgadnąć ale gdyby tych dzielników było więcej ?)

Całkowitych pierwiastków można by szukać binarnie dałoby to
logarytmiczną złożoność ale co z wymiernymi

Można dyskutować o tym, co kto woli. Większość moich studentów po zobaczeniu Twoich rachunków poszłaby na teologię .

Inna sprawa, że sposób w jaki przedstawiasz swoje rozwiązania jest czytelny dla ludzi, którzy te metody znają i potrafią zastosować gdy trzeba. Natomiast dla laika ściana znaczków które wypisujesz bez żadnych komentarzy nie jest zjadliwa.

Jeżeli mamy do czynienia z zadaniami szkolnymi, uczelnianymi czy większością jakichkolwiek innych, to użycie metody podanej przez Premislava jest dużo lepsze z następujących względów:
a. działa dla wielomianów dowolnego stopnia
b. nie daje pierwiastków całkowitych w koszmarnie niezjadliwej postaci
c. nie jest zgadywaniem lecz optymalizacją: najpierw próbujemy metod prostych, a potem, jeżeli trzeba, wyciagamy armaty
d. jest raczej "błędoodporne" (choć dziś część studentów ma problem z dodawaniem licz całkowitych).

A wymiernych pierwiastkó szuka sie tak samo jak całkowitych.

[Mariusz M]

a4karo tutaj miałem na myśli że nie zawsze uda się od razu zgadnąć pierwiastek
i że do znajdowania całkowitych można użyć wyszukiwania binarnego
co daje logarytmiczną złożoność
(krańce przedziałów należy dobierać tak aby aby iloczyn wartości funkcji w tych punktach był ujemny)
Gdyby to zastosować do wymiernych to można by się nieco pogubić

Z ciekawości przeglądałeś kiedyś tematy ze wstępu do programowania oraz
algorytmów i struktur danych ?

[a4karo]

Ale przecież nikt tu nie mówi o numerycznym rozwiązywaniu równań ani o wyszukiwaniu binarnym. Po prostu szukamy pierwiastka wśród dzielników wyrazy wolnego. I to właśnie wszyscy robią.