Ekstremala funkcjonału

[mat06]

Znajdź ekstremale funkcjonału:

\(\displaystyle{ F(u)= \int_{-4}^{4} \sqrt{u(1+u'^2)}\:dx \\
u(-4)=5 \\
u(4)=5}\)

[arek1357]

Trzeba rozwiązać równanie różniczkowe:

\(\displaystyle{ \frac{d}{dx}\left( \frac{\partial L}{\partial u'} \right)- \frac{\partial L}{\partial u}=0}\)

dla funkcji:

\(\displaystyle{ L(u,u',x)= \sqrt{u(1+u'^2)}}\)

Ale, że L bezpośrednio nie zależy od: \(\displaystyle{ x}\) , to można napisać to równanie w wersji uproszczonej, a mianowicie:

\(\displaystyle{ u' \frac{\partial L}{\partial u'}-L=C}\)

\(\displaystyle{ \frac{\partial L}{ \partial u'}= \frac{uu'}{ \sqrt{u+uu'^2} }}\)

i otrzymujesz:

\(\displaystyle{ \frac{uu'^2}{\sqrt{u+uu'^2}}- \sqrt{u+uu'^2}=C}\)

Jak poskracasz, otrzymasz:

\(\displaystyle{ C+Cu'^2=u}\)

a po rozdzieleniu zmiennych otrzymasz:

\(\displaystyle{ \sqrt{C} \frac{du}{ \sqrt{u-C} }=dx}\)

Dalej sobie poradzisz...

[mat06]

a po rozdzieleniu zmiennych otrzymasz:

\(\displaystyle{ \sqrt{C} \frac{du}{ \sqrt{u-C} }=dx}\)

Dalej sobie poradzisz...

Właśnie z tym mam problem... Proszę o przedstawienie dalszej części obliczeń.

[arek1357]

\(\displaystyle{ \sqrt{C} \int_{}^{} \frac{du}{ \sqrt{u-C} }= \int_{}^{} dx}\)

\(\displaystyle{ 2 \sqrt{C} \sqrt{u-C}=x+C_{1}}\)

Z tego:

\(\displaystyle{ u=C+ \frac{(x+C_{1})^2}{4C}}\)

Z warunków początkowych wyliczysz:

\(\displaystyle{ C, C_{1}}\) .