Obliczyć pochodna funkcji korzystając z definicji:
\(\displaystyle{ y=\sin^{2} x}\)
Obliczyc pochodna funkcji korzystajac z definicji
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15496
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 195 razy
- Pomógł: 5224 razy
Obliczyc pochodna funkcji korzystajac z definicji
Niech \(\displaystyle{ x}\) - ustalony punkt.
\(\displaystyle{ \lim_{h \to 0} \frac{\sin^2(x+h)-\sin^2 x}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\left( \sin(x+h)-\sin x\right)\left(\sin(x+h)+\sin(x) \right) }{h}=\\= \lim_{h \to 0} \frac{2\sin \frac{h}{2}\cos\left( x+\frac h 2\right)(\sin(x+h)+\sin x) }{h}= \\=\lim_{h \to 0} \frac{\sin\left( \frac h 2\right) }{\frac h 2} \cdot \cos\left( x+\frac h 2\right)\left( \sin(x+h)+\sin x\right) =2\cos x\sin x}\)
Skorzystałem kolejno: ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów, ze wzoru na różnicę sinusów, ze znanej granicy \(\displaystyle{ \lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t} =1}\) . Aha, no i de facto z ciągłości funkcji sinus i cosinus, tj. \(\displaystyle{ \lim_{h \to 0} \cos\left( x+\frac h 2\right) =\cos x}\) itd.
\(\displaystyle{ \lim_{h \to 0} \frac{\sin^2(x+h)-\sin^2 x}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\left( \sin(x+h)-\sin x\right)\left(\sin(x+h)+\sin(x) \right) }{h}=\\= \lim_{h \to 0} \frac{2\sin \frac{h}{2}\cos\left( x+\frac h 2\right)(\sin(x+h)+\sin x) }{h}= \\=\lim_{h \to 0} \frac{\sin\left( \frac h 2\right) }{\frac h 2} \cdot \cos\left( x+\frac h 2\right)\left( \sin(x+h)+\sin x\right) =2\cos x\sin x}\)
Skorzystałem kolejno: ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów, ze wzoru na różnicę sinusów, ze znanej granicy \(\displaystyle{ \lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t} =1}\) . Aha, no i de facto z ciągłości funkcji sinus i cosinus, tj. \(\displaystyle{ \lim_{h \to 0} \cos\left( x+\frac h 2\right) =\cos x}\) itd.