Udowodnić równość zbiorów.

[SnowBird]

Witam, mam kilka przykładów, za które nie bardzo wiem jak się zabrać. Mam nadzieję, że znajdzie się ktoś kto rozjaśni moje wątpliwości..

1. Udowodnić, że przy ustalonej przestrzeni X dla wszelkich zbiorów A,B i C zachodzą następujące równości:
(a) \(\displaystyle{ \emptyset \cap A = \emptyset}\)
Wzorując się na "podstawowym schemacie" myślałem o czymś typu:
Niech \(\displaystyle{ x \in \emptyset \cap A.}\) Wówczas \(\displaystyle{ x \in \emptyset \wedge x \in A \Leftrightarrow F \wedge x \in A \Leftrightarrow F}\)

Ma to jakikolwiek sens? Mogę utożsamić wyrażenie \(\displaystyle{ x \in \emptyset}\) ze zdaniem zawsze fałszywym i tak to zapisać? I jeszcze jeden podobny przykład:
(b) \(\displaystyle{ A \cup A' = X}\)
Rozumiem, że trzeba skorzystać z tautologii \(\displaystyle{ p \vee \neg p}\), ale jak to formalnie przedstawić?

2. Dowieść, że dla wszelkich zbiorów A,B i C zachodzi implikacja:
\(\displaystyle{ (A \subset B) \wedge (C \subset D) \Rightarrow (A \cup C \subset B \cup D)}\)
Początek/próba dowodu:
Zakładam, że poprzednik implikacji zachodzi. Dla dowolnego x mam: \(\displaystyle{ (x \in A \Rightarrow x \in B) \wedge (x \in C \Rightarrow x \in D)}\) i chcę dowieść, że \(\displaystyle{ x \in A \vee x \in C \Rightarrow x \in B \vee x \in D}\).
I tutaj pojawią się dwa pytania..
Czy mogę przyporządkować wyrażeniom \(\displaystyle{ \ x \in A,..., x \in D}\) zmienne zdaniowe \(\displaystyle{ \ p,..,z}\) i udowodnić, że takie wyrażenie jest prawem rachunku zdań, a następnie na tej podstawie stwierdzić, że główna implikacja z zadania zachodzi?
A przede wszystkim - czy jest inna droga rozwiązania tego typu przykładów?

3. Dowieść, że \(\displaystyle{ A \cup B}\) jest najmniejszym zbiorem zawierającym równocześnie A i B, tj. takim, że każdy zbiór X zawierający A i B zawiera również \(\displaystyle{ A \cup B}\).
Tutaj w ogóle nie mam koncepcji. Będę wdzięczny za podpowiedzi.

Dziękuję, a wszystkim czytającym życzę Wesołych Świąt

[Jan Kraszewski]

1. Udowodnić, że przy ustalonej przestrzeni X dla wszelkich zbiorów A,B i C zachodzą następujące równości:
(a) \(\displaystyle{ \emptyset \cap A = \emptyset}\)
Wzorując się na "podstawowym schemacie" myślałem o czymś typu:
Niech \(\displaystyle{ x \in \emptyset \cap A.}\) Wówczas \(\displaystyle{ x \in \emptyset \wedge x \in A \Leftrightarrow F \wedge x \in A \Leftrightarrow F}\)
Ma to jakikolwiek sens? Mogę utożsamić wyrażenie \(\displaystyle{ x \in \emptyset}\) ze zdaniem zawsze fałszywym i tak to zapisać?

No w sumie może być, ale delikatnie przyczepiłbym się sformułowania: "wówczas" oznacza wnioskowanie, a Ty chcesz równoważności, więc ustalasz po prostu dowolne \(\displaystyle{ x}\) i masz:

\(\displaystyle{ x \in \emptyset \cap A \Leftrightarrow x \in \emptyset \wedge x \in A \Leftrightarrow F \wedge x \in A \Leftrightarrow F \Leftrightarrow x \in \emptyset.}\)

(b) \(\displaystyle{ A \cup A' = X}\)
Rozumiem, że trzeba skorzystać z tautologii \(\displaystyle{ p \vee \neg p}\), ale jak to formalnie przedstawić?

Ustalasz dowolne \(\displaystyle{ x\in X}\). Wtedy na mocy wspomnianego prawa masz \(\displaystyle{ x\in A\lor \neg x\in A \Leftrightarrow x\in A\lor x\in A' \Leftrightarrow x\in A\cup A'}\), co daje zawieranie \(\displaystyle{ (\supseteq)}\). Drugie zawieranie jest oczywiste, bo \(\displaystyle{ X}\) jest przestrzenią.

2. Dowieść, że dla wszelkich zbiorów A,B i C zachodzi implikacja:
\(\displaystyle{ (A \subset B) \wedge (C \subset D) \Rightarrow (A \cup C \subset B \cup D)}\)
Początek/próba dowodu:
Zakładam, że poprzednik implikacji zachodzi. Dla dowolnego x mam: \(\displaystyle{ (x \in A \Rightarrow x \in B) \wedge (x \in C \Rightarrow x \in D)}\) i chcę dowieść, że \(\displaystyle{ x \in A \vee x \in C \Rightarrow x \in B \vee x \in D}\).
I tutaj pojawią się dwa pytania..
Czy mogę przyporządkować wyrażeniom \(\displaystyle{ \ x \in A,..., x \in D}\) zmienne zdaniowe \(\displaystyle{ \ p,..,z}\) i udowodnić, że takie wyrażenie jest prawem rachunku zdań, a następnie na tej podstawie stwierdzić, że główna implikacja z zadania zachodzi?

Jestem zdecydowanie przeciwny takiemu podejściu - jest mechaniczne, a w przykładach takich jak powyższy prowadzi często do błędnych rozważań (choć akurat Tobie udało się uniknąć pułapki). Jednym słowem - odradzam.

A przede wszystkim - czy jest inna droga rozwiązania tego typu przykładów?

Oczywiście. Masz pokazać, że \(\displaystyle{ A \cup C \subset B \cup D}\). Ustalasz zatem dowolne \(\displaystyle{ x\in A\cup C}\). Oznacza to, że \(\displaystyle{ x\in A}\) lub \(\displaystyle{ x\in C}\). Jeśli \(\displaystyle{ x\in A}\), to z założenia \(\displaystyle{ A \subseteq B}\) wnioskujemy, że \(\displaystyle{ x\in B}\), czyli tym bardziej \(\displaystyle{ x\in B\cup D}\). Jeśli \(\displaystyle{ x\in C}\), to z założenia \(\displaystyle{ C \subseteq D}\) wnioskujemy, że \(\displaystyle{ x\in D}\), czyli tym bardziej \(\displaystyle{ x\in B\cup D}\). Wobec tego (na mocy def. zawierania zbiorów) mamy \(\displaystyle{ A \cup C \subset B \cup D}\).

3. Dowieść, że \(\displaystyle{ A \cup B}\) jest najmniejszym zbiorem zawierającym równocześnie A i B, tj. takim, że każdy zbiór X zawierający A i B zawiera również \(\displaystyle{ A \cup B}\).
Tutaj w ogóle nie mam koncepcji. Będę wdzięczny za podpowiedzi.

W czym problem? Ustalasz dowolny zbiór \(\displaystyle{ X}\) zawierający \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) i chcesz pokazać, że \(\displaystyle{ A\cup B \subseteq X}\). To jest szczególny przypadek poprzedniego zadania dla \(\displaystyle{ C=D=X}\).

JK