Sprawdź czy następujące granice istnieją

[Logio]

Witam serdecznie. Znam definicję granicy i mam już pewną intuicję, wiem jak sprawdzić ciągłość funkcji etc, ale nigdzie nie mogę dopatrzeć się rozwiązania takich zadań, nie wiem jak i co dokładnie wykorzystać.

Sprawdź czy następujące granice istnieją:


\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0} x\sin\frac{1}{x}}\)


\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0}\frac{1}{x}\cos x}\)

[Rozbitek]

W pierwszej skorzystaj z twierdzenia o trzech funkcjach:

\(\displaystyle{ \frac{x}{2} < x\sin\frac{1}{x} < 2x}\)

W drugiej po prostu podstaw \(\displaystyle{ x = 0}\) i pomyśl do czego dąży \(\displaystyle{ \frac{C}{ \infty }}\) C - stała.

[Logio]

Dzięki, w międzyczasie dowiedziałem się że mogę policzyć granice lewo i prawostronną, sprawdzić czy się równają lub stworzyć podciągi, jednak co do drugiego przykładu .
Czy dobrze rozumiem że obliczając lewostronnie dostanę \(\displaystyle{ -\infty}\) a dla prawostronnej \(\displaystyle{ \infty}\) co kończy dowód ?

[Zahion]

Tak jest.

[a4karo]

W pierwszej skorzystaj z twierdzenia o trzech funkcjach:

\(\displaystyle{ \frac{x}{2} < x\sin\frac{1}{x} < 2x}\)

.

Możesz uzasadnić te nierówności?

[Janusz Tracz]

A nie prościej

\(\displaystyle{ 0 \le \left| x \cdot \sin\left( \frac{1}{x} \right) \right| \le \left| x \right|}\) (jako że \(\displaystyle{ \sin t \le 1}\))

jeśli \(\displaystyle{ x \rightarrow 0}\) to na mocy tw o 3 funkcjach dostajemy

\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0} x\sin\frac{1}{x}=0}\)

Co do następnego przykładu to najwygodniejsze wydaje się policzyć granice lewo i prawo stronne.

\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0^+}\frac{1}{x}\cos x= \frac{1}{0^+}= \infty}\)

\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0^-}\frac{1}{x}\cos x= \frac{1}{0^-}= -\infty}\)

dzięki temu mamy wniosek o tym że ta granica nie istnieje.