Witajcie
Mam zadanko:
Udowodnić, że jeśli w pierścieniu \(\displaystyle{ \mathbb{Z} _{n}}\) każdy element jest odwracalny lub nilpotentny, to \(\displaystyle{ n}\) jest potęgą liczby pierwszej.
W drugą stronę ta implikacja też zachodzi i ją udowodniłem, ale z powyższą nie mogę.
Proszę o pomoc,
Elementy nilpotentne i odwracalne
-
arek1357
Re: Elementy nilpotentne i odwracalne
jeżeli \(\displaystyle{ n}\) by nie było potęgą liczby pierwszej to wtedy isniały by:
\(\displaystyle{ p,q}\) pierwsze co dzieliły by\(\displaystyle{ n}\)
a wtedy:
dla każdego:\(\displaystyle{ s,r}\) np:
\(\displaystyle{ p^s,q^r \neq 0}\) a poza tym\(\displaystyle{ p,q}\) nie są odwracalne...
\(\displaystyle{ p,q}\) pierwsze co dzieliły by\(\displaystyle{ n}\)
a wtedy:
dla każdego:\(\displaystyle{ s,r}\) np:
\(\displaystyle{ p^s,q^r \neq 0}\) a poza tym\(\displaystyle{ p,q}\) nie są odwracalne...