Wyznaczenie wszystkich asymptot funkcji

[n3r0]

Witam, mam podaną funkcję: \(\displaystyle{ f(x) = \sqrt{ x ^{2} - 4x }}\)
Obliczyłem granice obustronne w punktach 0 i 4, lecz wykazały one, że nie istnieją asymptoty pionowe. Zabrałem się za obliczanie asymptot ukośnych i wyszły mi \(\displaystyle{ y = x-2}\) - prawostronna i \(\displaystyle{ y = -x + 2}\) - lewostronna. Piszę ten temat, dlatego że wolframalpha pokazuje, że istnieje tylko granica ukośna prawostronna i się zastanawiam dlaczego. Pozdrawiam.

[florek177]

są dwie ukośne

[n3r0]

A mógłbyś pomóc w przykładzie \(\displaystyle{ f(x)= \sqrt{-x ^{2} + 6x - 8 }}\)
Asymptot pionowych oczywiście nie ma, ale wgl mam problem z zabraniem się za obliczenie granicy
\(\displaystyle{ \lim_{ x \to + \infty } \frac{f(x)}{x}}\), ponieważ przy wyciąganiu x z pierwiastka, dostajemy \(\displaystyle{ \left| x \right|}\), a pod pierwiastkiem zostaje \(\displaystyle{ -1 + \frac{6}{x} - \frac{8}{x ^{2} }}\)

[Dilectus]

mam problem z zabraniem się za obliczenie granicy
\(\displaystyle{ \lim_{ x \to + \infty } \frac{f(x)}{x}}\), ponieważ przy wyciąganiu x z pierwiastka, dostajemy \(\displaystyle{ \left| x \right|}\), a pod pierwiastkiem zostaje \(\displaystyle{ -1 + \frac{6}{x} - \frac{8}{x ^{2} }}\)

Policz najpierw dziedzinę funkcji \(\displaystyle{ f(x)}\).

[n3r0]

Dziedzina to \(\displaystyle{ x \in \left\langle 2, 4\right\rangle}\). Czy to oznacza, że w ogóle nie ma asymptot? Dopiero się zaczynam uczyć tego tematu, więc nie jestem do końca pewny

[Belf]

Nie ma asymptot. "Zachowanie" tej funkcji jest analogiczne jak "zachowanie" się funkcji podpierwiastkowej w dziedzinie funkcji wyjściowej , czyli w przedziale:\(\displaystyle{ \left\langle 2;4\right\rangle}\)

[n3r0]

Czyli żeby były asymptoty, funkcja z którejś strony musi dążyć do nieskończoności?

[Belf]

Niekoniecznie. Np. funkcja: \(\displaystyle{ f(x)=e^x}\) ma asymptotę poziomą:\(\displaystyle{ y = 0}\), przy: \(\displaystyle{ x \rightarrow - \infty}\)

[n3r0]

A mogą być asymptoty w funkcji, której granica jest ograniczona, w sensie z jednej i z drugiej strony nie jest nieskończona, np. \(\displaystyle{ x \in \left( -5, 10\right)}\)?

[Belf]

Czy chodzi Ci o to, że zbiór wartości funkcji jest ograniczony ?

[n3r0]

Tak, dokładnie. Źle to wcześniej ująłem.

[Belf]

Tak. Jeśli popatrzysz np. na wykres funkcji:\(\displaystyle{ f(x)=\arctan x}\),to zobaczysz,że jest ona ograniczona z dołu i z góry i ma dwie asymptoty poziome:\(\displaystyle{ y= \frac{ \pi }{2}}\) oraz \(\displaystyle{ y=- \frac{ \pi }{2}}\)

[Jan Kraszewski]

Czyli żeby były asymptoty, funkcja z którejś strony musi dążyć do nieskończoności?

Asymptoty poziome i ukośne liczymy w \(\displaystyle{ \pm\infty}\), asymptoty pionowe na (skończonych) krańcach przedziałów określoności. Oczywiście sprawdzając ich istnienie dążymy do tych granic z argumentem funkcji. Jeśli zatem dziedziną funkcji jest przedział \(\displaystyle{ (a,b)}\), to mówienie o asymptotach poziomych i ukośnych nie ma sensu.

JK