Skonstruuj bijekcję f

[implicationelim]

Skonstruuj bijekcję \(\displaystyle{ f}\) o podanej dziedzinie i przeciwdziedzinie
\(\displaystyle{ f: (\NN \rightarrow \left\{0, 1 \right\} ) \rightarrow (P \rightarrow \left\{3, 4 \right\} })}\)
\(\displaystyle{ \NN}\) - liczby naturalne
\(\displaystyle{ P}\) - liczby parzyste

oryginał wygląda tak (jeżeli to co napisałem wyżej, to nie to samo):
\(\displaystyle{ f: \left\{0, 1 \right\} ^{\NN} \rightarrow \left\{ 3, 4\right\}^{P}}\)

[szw1710]

Kiepska ta Twoja notacja. Lepiej zapisać: skonstruuj bijekcję \(\displaystyle{ f:\{0,1\}^{\NN}\to\{3,4\}^{\Bbb P}.}\)

Wskazówka: jak to ma działać? Funkcji \(\displaystyle{ g:\NN\to\{0,1\}}\) należy przypisać (bijektywnie) funkcję \(\displaystyle{ f(g):\Bbb P\to\{3,4\}.}\) Zapiszmy \(\displaystyle{ \Bbb P=\{2n:n\in\NN\}}\). Niech teraz \(\displaystyle{ g:\NN\to\{0,1\}.}\) Musimy określić \(\displaystyle{ f(g)(2n).}\) Trzeba to jakoś powiązać z \(\displaystyle{ g(n)}\). Wymyśl, jak to można zrobić.

[implicationelim]

Nie rozumiem tego Czy można prosić bardziej łopatologicznie?

[lukasz_rajchel]

Nie rozumiem tego Czy można prosić bardziej łopatologicznie?

Zauważ, że \(\displaystyle{ \{0, 1\}^\mathbb{N}}\) jest zbiorem wszystkich funkcji ze zbioru liczb naturalnych w zbiór 2-elementowy \(\displaystyle{ \{0, 1\}}\). Każda taka funkcja jest więc ciągiem zer i jedynek, a więc nieskończoną liczbą binarną:

\(\displaystyle{ 101000010\ldots}\)

Podobnie funkcje ze zbioru \(\displaystyle{ \{3, 4\}^\mathbb{P}}\) są ciągami typu:

\(\displaystyle{ 343334333\ldots}\)

Czy da się bijektywnie przyporządkować ciąg "0-1" ciągowi "3-4"?