Estymator rozkładu wykładniczego

[adam4990]

\(\displaystyle{ Y_{1},...,Y_{n}}\) - próbka z rozkładu wykładniczego z parametrem \(\displaystyle{ \alpha}\) . Ustal estymator największej wiarygodności parametru \(\displaystyle{ \beta ( \alpha )=P_{ \alpha }( Y_{1}>t)}\) . Oblicz jego wariancję, obciążenie i ograniczenie Cramera-Rao.

Otrzymałem estymator: \(\displaystyle{ a=exp( \frac{-tn}{ y_{1}+...+y_{n} })}\) , ale w żaden sposób nie umiem ustalić nawet wartości oczekiwanej tego estymatora.

Ktoś pomoże?

[Premislav]

Gdyby parametr \(\displaystyle{ \alpha}\) oznaczał wartość oczekiwaną, a nie jej odwrotność, to wychodziłyby jakieś w miarę sensowne obliczenia, wtedy zdaje się estymatorem byłoby
\(\displaystyle{ \exp\left( -t \frac{y_1+\ldots+y_n}{n} \right)}\) i z tego wychodzą całkiem nawet sensowne całki (suma zmiennych niezależnych o tym jednakowym rozkładzie wykładniczym będzie miała rozkład Gamma z odpowiednimi parametrami).
Jeśli jednak (jak najwyraźniej przyjąłeś) \(\displaystyle{ \alpha}\) oznaczałoby odwrotność wartości oczekiwanej (jak zazwyczaj w rozkładzie wykładniczym), to dostajemy całkę nie do obliczenia (skoro ja nie umiem policzyć, to znaczy, że nie tylko jest nieelementarna, ale wręcz że nie ma innego sposobu niż przybliżenia numeryczne dla konkretnych wartości – żart).