Metoda przewidywań

[tangerine11]

Stosując metodę przewidywań znaleźć całkę ogólną równania:

\(\displaystyle{ x''+x=2\sin t - 2e^{-t}}\)

No to rozwiązuję równanie jednorodne i mam:
\(\displaystyle{ x=C_{1}\sin t + C_{2}\cos t}\)

Problem jest później. Kiedy próbuję podstawić:
\(\displaystyle{ x=2A\sin t+2B\cos t-2Ce^{-t}}\)
to w późniejszych rachunkach mi się skracają sinusy i cosinusy, więc chyba coś jest źle.
Czy ktoś mógłby pomóc, jak się w ogóle zabrać do postawienia?

[szw1710]

To nie jest dobre przewidywanie ze względu na tzw. stałą kontrolną. Właściwe jest takie: \(\displaystyle{ x=At\cos t+Bt\sin t+Ce^{-t}.}\)

[tangerine11]

Hmmm. Okej. Czyli zawsze kiedy przed funkcją trygonometryczną jest stała, to dodajemy w podstawieniu zmienną.

Po przeliczeniu wyszło mi:
\(\displaystyle{ x=-t\cos t-e^{-t}}\)

Czyli ostatecznie całka ogólna:
\(\displaystyle{ x= C_{1}\sin t+C_{2}\cos t-t\cos t-e^{-t}}\)

Czy dobrze?

[szw1710]

Pozwolisz że nie będę przeliczał. Zmienną \(\displaystyle{ t}\) dodałem z innego powodu, tzw. stałej kontrolnej. Nie robi się tego zawsze, ale tylko w określonych okolicznościach, które tu miały miejsce. Tłumaczenie i kontekst Twojego zadania przerasta moje ramy czasowe.

[tangerine11]

W porządku. A w przypadku, gdy funkcja jest równa \(\displaystyle{ 4e^{t}\cos t}\) to podstawienie będzie:

\(\displaystyle{ Ae^{t}\cos t + Be^{t}\sin t}\)

czy:
\(\displaystyle{ Ate^{t}\cos t + Bte^{t}\sin t}\)

Tzn. czy jest to przypadek wymagający tej stałej czy nie?

[szw1710]

To pierwsze.