Równanie różniczkowe

[Dharel]

Mam takie proste wyglądające równanie różniczkowe:

\(\displaystyle{ x'+tx= x^{2}}\)

Wyglądało mi to na równanie Bernoulliego:

\(\displaystyle{ u=x ^{1-2}=x ^{-1} \\
u'(-1)t \cdot u=-1 \cdot 1 \\
u'-tu=-1}\)

Mamy równanie liniowe, wiec najpierw rozwiązuje jednorodne:

\(\displaystyle{ u'-tu=0}\)

\(\displaystyle{ \frac{ \mbox{d}u }{ \mbox{d}t }=tu}\)

\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{du}{u}= \int_{}^{} tdt}\)

\(\displaystyle{ u=Ce ^{ \frac{ t^{2} }{2} }}\)

\(\displaystyle{ u'=C'e ^{ \frac{ t^{2} }{2} }+Ce ^{ \frac{ t^{2} }{2} } \cdot t}\)

Teraz wstawiam \(\displaystyle{ u}\) i \(\displaystyle{ u'}\) do \(\displaystyle{ u'-tu=-1}\) i wychodzi mi:

\(\displaystyle{ C'e ^{ \frac{ t^{2} }{2} }=-1}\)

I mam problem bo jak chce wyliczyć \(\displaystyle{ C}\) , to muszę scałkować , po lewej stronie mam \(\displaystyle{ e ^{ \frac{ t^{2} }{2} }}\) , a tego nie da się elementarnie rozwiązać. Pytanie, czy może popełniłem gdzieś błąd? Czy da się to jakoś inaczej rozwiązać?

[kerajs]

czy może popełniłem gdzieś błąd?

Nie. Rozwiązywałeś prawidłowo.

Czy da się to jakoś inaczej rozwiązać?

Można inaczej, np:
\(\displaystyle{ \frac{x'}{x^2}+ \frac{t}{x}=1\\
\frac{x'}{x^2}(e^{ \frac{-t^2}{2} })+ \frac{t}{x}(e^{ \frac{-t^2}{2} })=e^{ \frac{-t^2}{2} }\\
(\frac{-e^{ \frac{-t^2}{2} }}{x}) '=e^{ \frac{-t^2}{2} }\\
\frac{-e^{ \frac{-t^2}{2} }}{x}= \int_{}^{} e^{ \frac{-t^2}{2} } \mbox{d}t}\)
ale i tak trafia się na ten sam problem.