Dzień dobry.
Nie rozwiązując równania mam określić czy poniżej podany problem początkowy ma rozwiązanie w podanym przedziale i czy to rozwiązanie jest dokładnie jedno:
\(\displaystyle{ y'(t)+\sin(t) y(t)=\frac{1}{t+1},\ \ \ -2 < t < 5,\ \ \ y(1)=0}\)
Moje rozwiązanie:
\(\displaystyle{ y'=\frac{1}{t+1}-y\sin(t)}\)
\(\displaystyle{ t+1\ne 1 \Rightarrow t \neq -1}\)
\(\displaystyle{ y'=f(x,y) \newline}\)
Czy na podstawie tego mogę stwierdzić że funkcja \(\displaystyle{ f(x,y)}\) nie jest ciągle na przedziale \(\displaystyle{ -2 < t < 5}\) , gdyż nie jest określona w \(\displaystyle{ t=1}\) . W związku z tym równanie \(\displaystyle{ y'=f(x,y)}\) nie ma rozwiązania na podanym przedziale?
Twierdzenie o istnieniu rozwiązania
-
- Użytkownik
- Posty: 9
- Rejestracja: 2 lut 2017, o 20:29
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 5 razy
Twierdzenie o istnieniu rozwiązania
Ostatnio zmieniony 13 gru 2017, o 16:55 przez SlotaWoj, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
- Spektralny
- Użytkownik
- Posty: 3976
- Rejestracja: 17 cze 2011, o 21:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Praga, Katowice, Kraków
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 929 razy
Re: Twierdzenie o istnieniu rozwiązania
1. O ciągłości funkcji można mówić jedynie tam gdzie jest ona określona. Funkcja którą wskazałeś jest ciągła (w każdym punkcie swojej dziedziny).
2. Nawet gdyby ta, bądź inna funkcja, była nieciągła, nie można wnioskować niczego o braku rozwiązań bo twierdzenie Peana na które chcesz się powołać jest implikacją w przeciwną stronę.
Funkcja \(\displaystyle{ 1/(t+1)}\) nie jest określona na przedziale \(\displaystyle{ (-2,5)}\), więc problem jest nieco źle postawiony.
2. Nawet gdyby ta, bądź inna funkcja, była nieciągła, nie można wnioskować niczego o braku rozwiązań bo twierdzenie Peana na które chcesz się powołać jest implikacją w przeciwną stronę.
Funkcja \(\displaystyle{ 1/(t+1)}\) nie jest określona na przedziale \(\displaystyle{ (-2,5)}\), więc problem jest nieco źle postawiony.
-
- Użytkownik
- Posty: 9
- Rejestracja: 2 lut 2017, o 20:29
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 5 razy
Re: Twierdzenie o istnieniu rozwiązania
Dzięki Spektralny, a więc zatem możliwa jest jakaś odpowiedź na tak zadane pytanie?
- Spektralny
- Użytkownik
- Posty: 3976
- Rejestracja: 17 cze 2011, o 21:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Praga, Katowice, Kraków
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 929 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 9
- Rejestracja: 2 lut 2017, o 20:29
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 5 razy
Re: Twierdzenie o istnieniu rozwiązania
Spróbuję się jutro dowiedzieć od prowadzącego ćwiczenia, dzięki za pomoc!