pokazać że jest momentem stopu

[aGabi94]

Niech \(\displaystyle{ X_{1},X_{2},. . .}\) będzie ciągiem nieujemnych niezależnych zmiennych losowych. Niech
\(\displaystyle{ N(t) :=max\left\{n : X_{1}+X_{2}+. . .+X_{n} \le t\right\}}\) Pokazać, że \(\displaystyle{ N(t)+1}\) jest momentem stopu względem odpowiedniej filtracji.
Moment stopu tzn, że \(\displaystyle{ \left\{ \tau \le t \right\} \in F_{t}}\)

[Spektralny]

Możliwe, że czegoś nie rozumiem w zadaniu ale wystarczy pokazać, że \(\displaystyle{ N(t)}\) jest momentem stopu ponieważ funkcje stałe są mierzalne względem każdego \(\displaystyle{ \sigma}\)-ciała a suma funkcji mierzalnych jest mierzalna.

Czy zakładamy, że zmienne mają ten sam rozkład?