Dowód na macierzach

[karol235]

Cześć. mam takie zadanie:
Niech \(\displaystyle{ A,B}\) będą macierzami wymiaru n×n. Pokazać, że jeśli \(\displaystyle{ A+B}\) jest macierzą odwracalną, to

\(\displaystyle{ A(A + B)^{-1} B = B(A + B)^{-1} A.}\)

Rozwiązałem to, dla przypadku gdy A oraz B są macierzami odwracalnymi. Ale nie potrafię zrobić tego, dla przypadku, gdy nie są odwracalne.
Mógłby ktoś nakierować?

[timon92]

wystarczy dodać do obu stron macierz \(\displaystyle{ A(A+B)^{-1}A}\) i powyciągać przed nawias to co się da

[karol235]

i wtedy dochodzimy do sytuacji takiej:
\(\displaystyle{ BA = AB}\)
co nie zachodzi dla każdej macierzy, a ponieważ miało zachodzić dla każdej, to oznacza to sprzeczność?

[timon92]

jeśli dostajesz \(\displaystyle{ BA=AB}\), to znaczy, że coś robisz nie tak

\(\displaystyle{ A(A+B)^{-1}A + A(A+B)^{-1}B=A(A+B)^{-1}(A+B) = A}\)