Równanie o zmiennych rozdzielonych

[donquixote]

Hej, pomoże mi ktoś z tym równaniem? Mam wyznaczyć rozwiązanie ogólne a jeśli to możliwe podać rozwiązanie w postaci jawnej.

\(\displaystyle{ (2x+y-2)dx + (2y-x+1)dy =0}\)

[szw1710]

Wprowadzenie nowych zmiennych \(\displaystyle{ 2x+y-2=u}\) oraz \(\displaystyle{ 2y-x+1=v}\) sprowadzi równanie do jednorodnego względem \(\displaystyle{ u,v}\). To z kolei równanie sprowadza się do równania o zmiennych rozdzielonych.

W II tomie Krysickiego opisane jest sprowadzenie równania tego typu bezpośrednio do równania o zmiennych rozdzielonych.

[Mariusz M]

szw1710, skąd wziąłeś te zmienne ?

W skrypcie Szlęka, Łanowego i Przybylaka zaproponowane jest podstawienie

\(\displaystyle{ \begin{cases} x=u+ \alpha \\ y=v+ \beta \end{cases}}\)

Po wstawieniu do równania okaże się że podstawienie \(\displaystyle{ y=\left( x-1\right)u}\)
sprowadzi to równanie bezpośrednio do równania o rozdzielonych zmiennych

Zobaczmy co dostaniemy po zastosowaniu tego podstawienia

\(\displaystyle{ 2x+y-2=u}\) oraz \(\displaystyle{ 2y-x+1=v}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} 2x+y-2=u \\ 2y-x+1=v \end{cases} \\
\begin{cases} 2x+y-2=u \\ 2y-x+1=v \end{cases} \\}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} 2x+y-2=u \\ 2y-x+1=v \end{cases} \\
\begin{cases} 2x+y-2=u \\ 2y-x+1=v \end{cases} \\
\begin{cases} x= \frac{1}{5}\left( 2u-v+5\right) \\ y=\frac{1}{5}\left( u+2v\right) \end{cases} \\
\left(\left( \frac{2}{5}\left( 2u-v+5\right)+\frac{1}{5}\left( u+2v\right)-2\right) \cdot \frac{2}{5}+\left( \frac{2}{5}\left( u+2v\right)-\frac{1}{5}\left( 2u-v+5\right) +1 \right) \frac{1}{5}\right) \mbox{d}u+\left(\left( \frac{2}{5}\left( 2u-v+5\right)+\frac{1}{5}\left( u+2v\right)-2\right) \cdot \frac{\left(-1 \right) }{5}+\left( \frac{2}{5}\left( u+2v\right)-\frac{1}{5}\left( 2u-v+5\right) +1 \right) \frac{2}{5}\right) \mbox{d}v=0\\
\frac{1}{25}\left( 8u-4v+20+2u+4v-20+2u+4v-2u+v-5+5\right) \mbox{d}u+\\ \frac{1}{25}\left( -4u+2v-10-u-2v+10+4u+8v-4u+2v-10+10\right) \mbox{d}v=0\\
\frac{1}{25}\left( 10u+5v\right) \mbox{d}u+\frac{1}{25}\left(-5u+10v \right) \mbox{d}v=0\\
\left( 2u+v\right) \mbox{d}u-\left( u-2v\right) \mbox{d}v=0\\
\left( 2u+v\right) \mbox{d}u=\left( u-2v\right) \mbox{d}v=0\\
\frac{ \mbox{d}v}{ \mbox{d}u} =\frac{2u+v}{u-2v}\\
v=uz\\
v'=z+uz'\\
z+uz'=\frac{2u+uz}{u-2uz}\\
uz'=\frac{2+z}{1-2z}-z\\
uz'=\frac{2+z-z+2z^2}{1-2z}\\
uz'=-2\frac{1+z^2}{2z-1}\\
\frac{\left( 2z-1\right) \mbox{d}z}{1+z^2}=-\frac{2}{u} \mbox{d}u\\
\ln{\left| z^2+1\right| }-\arctan{\left( z\right) }=-2\ln{\left| u\right| }+C\\
\ln{\left| u^2\left(z^2+1\right)\right| }-\arctan{\left( z\right) }=C\\
\ln{\left| v^2+u^2\right| }-\arctan{\left( \frac{v}{u}\right) }=C}\)