Granice ciągów

[mannniek]

Mam problem z rozwiązaniem tego zadania. \(\displaystyle{ \sin (n)}\) w tym przypadku będzie dążyć do \(\displaystyle{ 1}\), a granica \(\displaystyle{ (-1)^n}\) jest rozbieżna tak? Więc całość też jest rozbieżna?

\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \frac{\sin (n)(-1)^{n}}{n+1}}\)

[Premislav]

sin(n) w tym przypadku będzie dążyć do 1

Kod: Zaznacz cały

https://www.youtube.com/watch?v=X5jccQe4ZUY&list=RDVHOzTUDGxvU&index=11

Poza tym używasz niepoprawnej terminologii, „granica jest rozbieżna" - nie podoba mi się. Ciąg może być rozbieżny, wtedy ew. granica nie istnieje.

Co do rozwiązania zadania, zauważ, że \(\displaystyle{ \left| \sin (n) (-1)^n\right| \le 1}\), a oczywiście
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{1}{n+1}}\), więc masz tu iloczyn ciągu ograniczonego i ciągu zbieżnego do zera.

[Rozbitek]

Co do rozwiązania zadania, zauważ, że \(\displaystyle{ \left| \sin (n) (-1)^n\right| \le 1}\)

W jakim celu dałeś ten moduł kolego?

[Premislav]

Żeby nie pisać dwóch nierówności, tylko jedną.

[Rozbitek]

Trzeba byłoby rozpatrywać przypadki
\(\displaystyle{ (-1)^{2n}}\) i \(\displaystyle{ (-1)^{2n+1}}\)?

Czy jak zwykle czegoś nie kumam?

[naciunia7]

Po co? Zostało już pokazane, że ciąg, którego granicę masz policzyć, jest iloczynem ciągu ograniczonego i ciągu zbieżnego do zera, a istnieje twierdzenie, które mówi ile w takim przypadku wynosi granica.

[lolo666]

\(\displaystyle{ \sin (n)}\) jest ograniczony z góry i z dołu, a więc nie ma granicy. Podobnie zresztą \(\displaystyle{ (-1)^{n}}\). Tylko podciąg (nie wiem czy tak można w tym wypadku nazwać, ale niech ten ogólny ciąg podzielimy na takie trzy "podciągi") \(\displaystyle{ \frac{1}{n+1}}\) jest zbieżny do zera. Wynik już sam się nasuwa

[Jan Kraszewski]

\(\displaystyle{ \sin (n)}\) jest ograniczony z góry i z dołu, a więc nie ma granicy.

To nie ma sensu - czyżby każdy ciąg ograniczony z góry i z dołu nie miał granicy?

JK

[lolo666]

Racja, trochę się z tym twierdzeniem zagalopowałem. Co nie zmienia tego, że \(\displaystyle{ \sin (n)}\) czy \(\displaystyle{ \cos (n)}\) nie ma granicy.

[Dilectus]

Twierdzenie: jeżeli wyciskam 500 kg na klatę, to hipoteza Goldbacha jest prawdziwa.

Premislav, udowodnij to twierdzenie.

[Jan Kraszewski]

Co nie zmienia tego, że \(\displaystyle{ \sin (n)}\) czy \(\displaystyle{ \cos (n)}\) nie ma granicy.

Nie ma, ale z zupełnie innego powodu.

JK