Dwie metalowe kulki i zależność ich masy

[Pasza09]

Dwie stalowe kulki zawieszone są na niciach tak, że ich środki ciężkości znajdują się w odległości l poniżej punktu zaczepienia. Obie nici są pionowe. Masy kulek wynoszą \(\displaystyle{ m_{1}}\) i \(\displaystyle{ m_{2}}\) (\(\displaystyle{ m_{1}<m_{2}}\) ). Mniejszą kulkę odchylono o kąt \(\displaystyle{ \alpha=90^\circ}\) i puszczono. Przyjmując, że kulki są idealnie sprężyste określić na jaką wysokość podniosą się one po zderzeniu. Przy jakim stosunku mas \(\displaystyle{ m_{1}/m_{2}}\) , wysokości na jakie podniosą się kulki będą jednakowe.


Rozpisałem z zasady zachowania energi potem oczywiście zachowania pędu i potem wychodzi dziwne równanie gdzie mamy wysokości kul pod pierwiastkiem i wychodzą dziwne równania które nie wiem czy mają jakiś koniec. Wyszło mi że wysokość \(\displaystyle{ h_{1}}\) jest zależna od masy kulek od wysokości początkowej ale także od wysokości \(\displaystyle{ h _{2}}\) Więc wychodzi pewien absurd mógłby ktoś mnie nakierować ?

[daras170]

Jakież to dziwne równanie ci wyszło ? może zaprezentujesz tutaj swoje rachunki ?

... wychodzi dziwne równanie gdzie mamy wysokości kul pod pierwiastkiem

dobrze wychodzi wszakże prędkość mniejszej kulki tuż przed zderzeniem \(\displaystyle{ v = \sqrt{2gl}}\),
aby się go pozbyć wystarczy podnieść stronami do kwadratu i odjąć

Wyszło mi że wysokość \(\displaystyle{ h_{1}}\) jest zależna od masy kulek od wysokości początkowej ale także od wysokości \(\displaystyle{ h _{2}}\) Więc wychodzi pewien absurd mógłby ktoś mnie nakierować ?

podziel obie strony równania przez masę wtedy pojawi się proporcja, którą masz wyznaczyć
Stosunek mas, przy którym wysokości są jednakowe powinien wyjść \(\displaystyle{ \frac{m_1}{m_2} = \frac{1}{3}}\).

[Pasza09]

Zapisałem z zachowania pędu \(\displaystyle{ m_1\sqrt{2gh}=m_1\sqrt{2gl_1}+m_2\sqrt{2gl_2}}\) i potem z tego napisałem równanie dla \(\displaystyle{ l_1}\) i \(\displaystyle{ l_2}\) no i wychodzą herezje mam 4 zmienne a dwa równania sorry ze bez latexa ale pisze w autobusie

-- 6 gru 2017, o 19:06 --

Proszę ludziska pomóżcie dalej nic z tego nie wychodzi co z tego że podniosę do kwadratu i odejmę jak dalej mam 4 nie wiadomo jak ja mam je wyliczyć z jednego równania ? Jak podniosę do kwadratu to będę miał \(\displaystyle{ \sqrt{l _{1}}}\) \(\displaystyle{ \sqrt{l _{2} }}\)

[daras170]

Z ZZPędu wyliczasz prędkość mniejsze kulki tuż przed zderzeniem

\(\displaystyle{ v = \sqrt{2gl}\ \ \ \ (1)}\)

dalej z ZZP i ZZEnergii po zderzeniu mamy:

\(\displaystyle{ m_1v = m_2v_2 -m_1v_1 \ \ \ \ (2)}\)
\(\displaystyle{ m_1v^2 = m_1v_1^2 + m_2v_2^2 \ \ \ \ (3)}\)

teraz wystarczy drugie r-nie podzielić przez \(\displaystyle{ m_1}\), podnieść obustronnie do kwadratu i odjąć stronami od niego trzecie r-nie, a po przeniesieniu wszystkiego na jedną stronę otrzymasz:

\(\displaystyle{ 0= \frac{m_2v_2}{m_1}[v_2( \frac{m_2}{m_1}-1) -2v_2]}\)

czynnik przed nawiasem jest na pewno różny od zera więc wystarczy przyrównać do zera wyrażenie w nawiasie i po kilku przekształceniach mamy:

\(\displaystyle{ \frac{v_1}{v_2}= \frac{m_2-m_1}{2m_1}}\)

Wysokość na jaką wzniosą się obie kulki po zderzeniu (znowu z ZZE) jest proporcjonalna do \(\displaystyle{ v^2}\) więc
\(\displaystyle{ \frac{h_1}{h_2}= \frac{v_1^2}{v_2^2}= \frac{m_2-m_1}{2m_1}}\)

a skoro wysokości mają być równe, to implikuje warunek
\(\displaystyle{ \frac{1}{2} (\frac{m_2}{m_1}-1) = 1 \Rightarrow \frac{m_2}{m_1} = 3}\).