Niepewność pomiaru

[bakus123]

Witam, do sprawozdania muszę dodać niepewność pomiaru na podstawie prawa przenoszenia niepewności. Nie wiem kompletnie jak to zrobić, nigdy nie liczyłem tego, na Internecie masa wzorów z pochodnymi cząstkowymi ale jak nie mam zmiennych tylko same wyniki to mam taki mętlik w głowie że nic nie wiem już.
Miałem na sprawozdaniu prędkość dźwięku za pomocą puzonu.
Mierzona wielkość do długość puzonu i na jej podstawie mam obliczyć niepewność pomiaru..
Mam przykładowo 5 pomiarów dla jednej częstotliwości : \(\displaystyle{ 1100\ Hz}\)
1. \(\displaystyle{ 83,5\ cm}\)
2. \(\displaystyle{ 79,5\ cm}\)
3. \(\displaystyle{ 74\ cm}\)
4. \(\displaystyle{ 69\ cm}\)
5. \(\displaystyle{ 64\ cm}\)
I jak na tej podstawie obliczyć \(\displaystyle{ u_{c}(\Delta L_{sr})}\)
Obliczyłem że \(\displaystyle{ \Delta L_{sr} = 1,48\ m}\)

[SlotaWoj]

Obliczyłem że \(\displaystyle{ \Delta L_{sr} = 1,48\ m}\)

???
Co i jak było mierzone?
Opis eksperymentu proszę. W miarę kompletny i po polsku.

[bakus123]

Układ pomiarowy składa się z generatora, wzmacniacza, głośnika, puzonu (rezonatora akustycznego) i oscyloskopu. Puzon pozwala płynnie zmieniać długość drogi przebytej przez falę dźwiękową. Dla częstotliwości zmieniającej się w zakresie od \(\displaystyle{ 0,5}\) do \(\displaystyle{ 5\ kHz}\) można poprzez zmianę długości puzonu otrzymać fale stojące. Źródłem fali jest wysokotonowy głośnik, na który podawany jest sygnał z generatora przebiegów zmiennych o regulowanej częstotliwości. W miejscu głośnika zamontowany jest mikrofon. Sygnał z mikrofonu jest obrazowany na ekranie oscyloskopu. Obserwacja sygnału z mikrofonu pozwala na takie dobranie długości rezonatora, dla której możliwe jest powstanie fali stojącej.

POMIARY :

1. Zanotować temperaturę i ciśnienie powietrza.

2. Włączyć generator sygnału zmiennego oraz oscyloskop.

3. Ustawić na generatorze częstotliwość przebiegu zmiennego podawanego na głośnik: \(\displaystyle{ 1100\:Hz}\) .

4. Amplitudę dobrać w ten sposób, aby dźwięk nie był zbyt donośny.

5. Zmieniając długość rezonatora (rozsuwając puzon) notować położenia (\(\displaystyle{ x_1}\), \(\displaystyle{ x_2}\)), przy których natężenie dźwięku osiąga wartość maksymalną. Natężeniom tym odpowiadają odpowiednio maksymalne wartości napięcia rejestrowanego przez oscyloskop. Pomiary wykonać dla zamkniętego i otwartego rezonatora.

6. Powtórzyć dla innych, wyższych częstotliwości, ustalonych przez prowadzącego (5 różnych).

[SlotaWoj]

Ale to jeszcze nie wszystko. Jak się mają wartości, które podałeś, do \(\displaystyle{ x_1}\) i \(\displaystyle{ x_2}\) z opisu?

[bakus123]

Chodziło pewnie o \(\displaystyle{ x_{1}}\),\(\displaystyle{ x_{2}...}\)\(\displaystyle{ x_{5}}\).
Tabela jest na 5 wartości od \(\displaystyle{ x _{1}}\) do \(\displaystyle{ x _{5}}\)

[SlotaWoj]

Domyślam się, że są to kolejne wysunięcia suwaka puzonu, przy których amplituda fali stojącej osiąga maksimum, ale tej informacji oczekiwałem od Ciebie.
Skoro tak, to mamy:

• \(\displaystyle{ \lambda_i=2(x_i-x_{i+1}),\ i=1,...,4}\)

Trzeba teraz obliczyć średnią \(\displaystyle{ \lambda_\text{śr}}\) i odchylenie standardowe \(\displaystyle{ s_\lambda}\) .

Niepewność pomiaru długości fali dźwięku będzie na poziomie ufności \(\displaystyle{ 95\%}\) równa: \(\displaystyle{ 2s_\lambda}\) .

[bakus123]

Mam takie równanie:
\(\displaystyle{ L_{sr}=2\Delta x_{sr}}\) a moje \(\displaystyle{ \Delta x_{sr}}\)=\(\displaystyle{ 74,06\ cm}\)
\(\displaystyle{ C =2fL_{sr}}\), gdzie \(\displaystyle{ c}\) - prędkość dźwięku która po obliczeniu wynosi \(\displaystyle{ 3256\ m/s}\) (w puzonie zapewne).
I następnie mam właśnie do obliczenia to \(\displaystyle{ u_{c}(\Delta L_{sr})}\) na podstawie prawa przenoszenia niepewności. Więc jak to obliczyć?

[SlotaWoj]

Nie masz żadnego \(\displaystyle{ \Delta x_\text{śr}}\) !

Pisałem już wcześniej, masz kolejne wartości wysunięcia suwaka puzonu, ich podwojone różnice to \(\displaystyle{ L_i}\) i dopiero od tego liczysz średnią długość fali \(\displaystyle{ L_\text{śr}}\) , odchylenie standardowe \(\displaystyle{ s_L}\) i niepewność pomiaru długości \(\displaystyle{ \Delta L}\) .

Musisz mieć niepewność pomiarową częstotliwości (dana generatora) \(\displaystyle{ \Delta f}\) i na końcu obliczasz niepewność pomiaru prędkości dźwięku:

• \(\displaystyle{ \Delta C=\left|\pfrac{C}{f}\right|\cdot\Delta f+\left|\pfrac{C}{L}\right|\cdot\Delta L}\)

Dla \(\displaystyle{ C(f,L)=2fL_\text{śr}}\)
\(\displaystyle{ \pfrac{C}{f}=2L_\text{śr}}\) jest

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Pochodna_cz%C4%85stkowa

funkcji \(\displaystyle{ C}\) względem zmiennej \(\displaystyle{ f}\) .

Prędkość dźwięku w powietrzu, a nie w puzonie, przy \(\displaystyle{ 20^\circ C}\) wynosi ok. \(\displaystyle{ 344\ m/s}\) .
Puzon, to nie ośrodek, w którym rozprzestrzeniają się fale dźwiękowe. Jak zanurzysz (zalejesz) puzon, głośnik i mikrofon w wodzie, to również w niej będziesz mógł zmierzyć prędkość rozchodzenia się dźwięku.

[energiaspoczynkowa]

No to teraz może po prostu wahadło matematyczne i wyznaczanie przyspieszenia ziemskiego. Już parę razy głowiłam się, jak wyznaczyć niepewność takiego pomiaru.
1. Długość wahadła zmierzona, np. \(\displaystyle{ 5}\) razy przymiarek krawieckim (dokładność przyrządu to \(\displaystyle{ 1\:mm}\) ).
2. Jednokrotnie zmierzony czas \(\displaystyle{ 100}\) okresów stoperem (dokładność przyrządu \(\displaystyle{ 0,01\:s}\) ).
Jak powinna być prawidłowo wyznaczona niepewność pomiaru długości wahadła \(\displaystyle{ u(l)}\) ? To samo dotyczy wyznaczenia pojedynczego okresu \(\displaystyle{ u(t)}\) ? Co zrobić z nieszczęsną niewymierną liczbą \(\displaystyle{ \pi^2}\) ?
Ktoś coś ??????????

[daras170]

Po prostu mógłbyś założyć nowy temat zamiast się podczepiać pod cudzy.
1. Przymiar krawiecki ma dokładność do \(\displaystyle{ 1\:cm}\) .
Liczysz średnią i odchylenie od średnie, to elementarne w każdym podręczniku znajdziesz wzór lub w internecie.
2. Niedokładność dzielisz przez \(\displaystyle{ 100}\) .
3. Liczbę \(\displaystyle{ \pi}\) możesz podstawić z dowolną dokładnością. czyli jej niepewność wynosi zero .

[energiaspoczynkowa]

Po prostu mógłbyś założyć nowy temat zamiast się podczepiać pod cudzy.

Jeśli kumulacja w jednym temacie porad dotyczących wyznaczania niepewności jest niestosowna, to masz rację.

1. Przymiar krawiecki ma dokładność do \(\displaystyle{ 1\:cm}\) .
Liczysz średnią i odchylenie od średnie, to elementarne w każdym podręczniku znajdziesz wzór lub w internecie.

Przymiar krawiecki ma jednak dokładność \(\displaystyle{ 1mm}\) , kilka takich taśm w życiu zużyłam. Poza tym decyzja, czy odchylenie standardowe, czy inna metoda powinna wynikać z liczby pomiarów oraz z tego, jak się od siebie różnią itp. Rozumiem, że 5 pomiarów to wystarczająco, aby zastosować metody statystyczne? Załóżmy, że pomiar długości wahadła został wykonany 1 raz, albo 3 razy. Co wtedy?

2. Niedokładność dzielisz przez \(\displaystyle{ 100}\) .
3. Liczbę \(\displaystyle{ \pi}\) możesz podstawić z dowolną dokładnością. czyli jej niepewność wynosi zero .

A zatem twierdzisz, że \(\displaystyle{ u\left( T\right)= \frac{0,01s}{100}}\) ??????
Z tą dokładnością liczby \(\displaystyle{ \pi ^2}\) to chyba nie do końca tak dowolnie, ale z tym przypadku będę przez nią mnożyć a nie dzielić. Cóż, dziękuję uprzejmie za uprzejme rady.

[SlotaWoj]

Ponieważ ja w swoim życiu jeszcze nie zużyłem żadnego przymiaru krawieckiego i nie jestem tak doświadczony, jak Ty, więc z ciekawości wziąłem wszystkie „domowe” przymiary krawieckie i zmierzyłem nimi stalowy liniał warsztatowy ( \(\displaystyle{ 1000\pm0,2\:\text{mm}}\) przy \(\displaystyle{ {20^\circ C}}\) – informacja producenta) i oto wyniki:

\(\displaystyle{ 1003\:\text{mm}}\) – przymiar 1 – prawie nowy, jeszcze w plastikowym pudełku (nie zginęło),
\(\displaystyle{ 1001\:\text{mm}}\) – przymiar 2,
\(\displaystyle{ 999\:\text{mm}}\) – przymiar 3 – leciwy,
\(\displaystyle{ 1004\:\text{mm}}\) – przymiar 4 – bardzo leciwy (sądząc po wyglądzie).

W związku z tym w doświadczeniach fizycznych nie należy mierzyć długości przymiarem krawieckim, tylko (jeśli nie mamy nic dokładniejszego) stalową taśmą mierniczą (taką zwijaną). Można założyć, że taśma taka ma błąd systematyczny mniejszy niż \(\displaystyle{ 1\:\text{mm}}\) przy pomiarze długości \(\displaystyle{ 1000\:\text{mm}}\) , lub \(\displaystyle{ 0,5\:\text{mm}}\) , gdy się zweryfikuje jej dokładność mierząc nią jakiś wzorzec o większej dokładności i uwzględni różnicę (proporcjonalnie do mierzonej długości) jako poprawkę. Do tego należy dodać dwukrotne odchylenie standardowe (prawdopodobieństwo \(\displaystyle{ 95\%}\)) średniej z wielu pomiarów i masz niepewność pomiarową długości wahadła.

Przy pomiarze czasu niepewność pomiaru równą \(\displaystyle{ 0,01\:\text{s}}\) (a nawet mniejszą) można osiągnąć tylko gdy stoper jest wyzwalany elektronicznie. Przy pomiarze ręcznym niepewność jest \(\displaystyle{ 0,2\:\text{s}}\) , a gdy ma się wprawę \(\displaystyle{ 0,1\:\text{s}}\) .

Przy przeliczaniu niepewności pomiaru czasu na niepewność czasu trwania jednego okresu wahań jest tak, jak pisał Daras170.

Błąd liczby \(\displaystyle{ \pi}\) jest równy \(\displaystyle{ 0}\) . Tobie pewnie chodzi o dokładność obliczeń, a ta zależy od użytego narzędzia obliczeniowego. Kalkulatory liczą z dokładnością co najmniej 12 cyfr znaczących, a Excel 18 cyfr. Dla funkcji standardowych dokładność zależy od zaimplementowanej metody (m.in. liczby wyrazów rozwinięcia funkcji w szereg Taylora) i dla Excela szacuję ją jakieś 9÷12 cyfr znaczących.

Aktualnie znana ilość cyfr znaczących liczby \(\displaystyle{ \pi}\) wynosi 22,5 biliona.

[energiaspoczynkowa]

Bardzo dziękuję!

Można założyć, że taśma taka ma błąd systematyczny mniejszy niż \(\displaystyle{ 1\:\text{mm}}\) przy pomiarze długości \(\displaystyle{ 1000\:\text{mm}}\) , lub \(\displaystyle{ 0,5\:\text{mm}}\) , gdy się zweryfikuje jej dokładność mierząc nią jakiś wzorzec o większej dokładności i uwzględni różnicę (proporcjonalnie do mierzonej długości) jako poprawkę. Do tego należy dodać dwukrotne odchylenie standardowe (prawdopodobieństwo \(\displaystyle{ 95\%}\)) średniej z wielu pomiarów i masz niepewność pomiarową długości wahadła.

Załóżmy więc, że użyłam taśmy mierniczej, jak mówisz. Pomiar długości wahadła wykonałam 5 razy. Wyniki odczytywałam z dokładnością do najmniejszej podziałki - \(\displaystyle{ 1mm}\).
Ze względu na lepsze lub gorsze warunki wykonywania pomiaru otrzymałam:
Opcja A:
Wyniki różniące się między sobą o więcej niż \(\displaystyle{ 1 mm}\)
Opcja B:
Wyniki różniące się między sobą o nie więcej niż \(\displaystyle{ 1mm}\)
Czy w obu przypadkach z obliczeniem niepewności postępuję tak samo?
I czy dobrze zrozumiałam, ze niepewność \(\displaystyle{ u\left( l\right)}\) obliczam jako sumę "dokładności przyrządu" i dwukrotności odchylenia standardowego? \(\displaystyle{ u\left( l\right) = 1mm+2 \sigma\left( l\right)}\)
Z kolei wynik obliczenia średniej z \(\displaystyle{ l_i}\) powinnam zaokrąglić tak, jak wskazuje \(\displaystyle{ u\left( l\right)}\) - zgadza się? Przy czym \(\displaystyle{ u\left( l\right)}\) powinnam zaokrąglić do .... 2 cyfr znaczących?

I czy w przypadku pomiaru masy za pomocą wagi z podziałką powinnam postąpić podobnie?

Błąd liczby \(\displaystyle{ \pi}\) jest równy \(\displaystyle{ 0}\) . Tobie pewnie chodzi o dokładność obliczeń, a ta zależy od użytego narzędzia obliczeniowego.

Chodziło mi oczywiście o to, jakie przybliżenie zastosować.
Jeszcze raz bardzo dziękuję za wskazówki.

[SlotaWoj]

Jeżeli błąd systematyczny, co do rzędu wielkości, jest mniejszy od błędu przypadkowego, to można go zaniedbać. Jednak przypuszczam, że przy pomiarze długości wahadła taśmą mierniczą tak nie będzie, więc należy go uwzględnić.

Niektórzy biorą trzykrotne odchylenie standardowe, mają wtedy prawdopodobieństwo \(\displaystyle{ 99,7\%}\) . Nazywają to zasadą 3-sigma.

Wartości pośrednie zmiennych i ich niepewności pamiętam i używam z dodatkową cyfrą (rzędu o jeden mniejszego) niż wynika z rachunku błędu, a zaokrąglam wynik końcowy.

Liczbę \(\displaystyle{ \pi}\) można wprowadzać z maksymalną dokładnością (ile się zmieści). Ja na kalkulatorze wprowadzam 6 cyfr, a w Excelu (jako stałą) 11, bo tyle pamiętam.

[energiaspoczynkowa]

Bardzo dziękuję za te wyjaśnienia!