Działania na grupie - różne pytania

[relic]

Witam,

mam za kilka zadań do rozwiązania związanych z działaniem grupy na zbiór, m. in.:

(i)Istnieje grupa \(\displaystyle{ G}\) rzędu 125 i tranzytywne działanie tej grupy na zbiorze \(\displaystyle{ X}\) mocy 30.

Patrze na to w ten sposób:
zakładam, że istnieje. Jeśli działanie jest tranzatywne, to ma jedną orbite.
Wtedy mamy, że \(\displaystyle{ \left| X\right| =\left[ G:G_{x_1}\right]=\left| G(x_1)\right| =30}\), ale \(\displaystyle{ 30}\) nie dzieli \(\displaystyle{ 125}\), więc nie ma takiego działania.

(ii)Dla każdej grupy \(\displaystyle{ G}\) rzędu 125 istnieje działanie tej grupy na zbiorze \(\displaystyle{ X}\) mocy 30 bez punktu stałego.

Jeśli istnieje działanie grupy \(\displaystyle{ G}\) na \(\displaystyle{ X}\), to moc zbioru punktów stałych \(\displaystyle{ \left| X^G\right| \equiv \left| X\right| \pmod 5}\), bo \(\displaystyle{ \left| G\right| =5^3}\).
Więc tych punktów stałych jest \(\displaystyle{ 5k, \ k=0 \vee 1 \vee 2 \vee 3 \vee 4 \vee 5 \vee 6}\). Dalej w sumie nie wiem jak to pociągnąć.
Jak w ogóle sprawdzić, czy takie działanie istnieje? Homomorfizm przeprowadza podgrupe na podgrupe, musiałbym pokazać, że w grupie \(\displaystyle{ \Sigma _X}\) istnieją podgrupy tych samych rzędów co w \(\displaystyle{ G}\)?

(iii)Istnieje działanie grupy \(\displaystyle{ \Sigma _5}\) bez punktów stałych na zbiorze \(\displaystyle{ 20}\)–elementowym.

Tutaj w ogóle nie wiem. Niby musi być, że \(\displaystyle{ 20=\left[ G:G_{x_1}\right] +...+\left[ G:G_{x_n}\right]}\), gdzie \(\displaystyle{ G\left( x_1\right),...,G\left( x_n \right)}\) to wszystkie parami różne wszystkie orbity działania, jednak rzędy podgrup mogą się sumować do 20, więc nie wiem jak dojść do sprzeczności, lub potwierdzić.


Trochę brak mi intuicji co do algebry jak widać


Podaje legendę, gdyby ktoś miał inne oznaczenia
\(\displaystyle{ \Sigma _X}\) - zbiór bijekcji zbioru \(\displaystyle{ X}\) w siebie
\(\displaystyle{ X^G}\) zbiór punktów stałych działania grupy \(\displaystyle{ G}\) na zbiorze \(\displaystyle{ X}\)
\(\displaystyle{ G\left( x\right)}\)-orbita punktu \(\displaystyle{ x}\)
\(\displaystyle{ G_x}\)-grupa izotropii pkt. \(\displaystyle{ x}\)

[leg14]

1) ok


2) Przeciez masz zalozenie, ze ma nie byc punktow stalych, to po co Ci ta

eśli istnieje działanie grupy G na X, to moc zbioru punktów stałych left| X^G
ight| equiv left| X
ight| pmod 5, bo left| G
ight| =5^3.
Więc tych punktów stałych jest 5k, k=0 vee 1 vee 2 vee 3 vee 4 vee 5 vee 6. Dalej w sumie nie wiem jak to pociągnąć.
Jak w ogóle sprawdzić, czy takie działanie istnieje?

analiza?

Odpoiwedz brzmi tak. Zacznij od dzialania \(\displaystyle{ G}\) na zbiorze warstw \(\displaystyle{ G/K}\), gdzie \(\displaystyle{ K}\) jest podgrupa rzedu \(\displaystyle{ K}\)

musiałbym pokazać, że w grupie Sigma _X istnieją podgrupy tych samych rzędów co w G?

niee

(iii)Istnieje działanie grupy Sigma _5 bez punktów stałych na zbiorze 20–elementowym.

A czy istnieje dzialanie \(\displaystyle{ \Sigma _5}\) na zbiorze 5 - elementowym bez punktow stalych?

[relic]

(iii)Istnieje działanie grupy Sigma _5 bez punktów stałych na zbiorze 20–elementowym.

A czy istnieje dzialanie \(\displaystyle{ \Sigma _5}\) na zbiorze 5 - elementowym bez punktow stalych?

odpowiedziałbym, że tak.

[leg14]

No to podziel \(\displaystyle{ X}\) na \(\displaystyle{ X_1 \cup ... \cup X_5}\) i na kazdym dzialaj tak samo

[relic]

Ale mówiąc, że odpowiedziałbym, że tak, to bardziej na czuja odpowiadam, a nie rozumiem czemu. Tzn. zbiór \(\displaystyle{ \Sigma _5}\) i \(\displaystyle{ \Sigma_X}\) są równoliczne, więc w ogóle to sa izomorficzne. Nie ma punktu stałego, bo zawsze jest bijekcja która przeprowadzi dowolny pkt \(\displaystyle{ x}\) na inny pkt \(\displaystyle{ y}\).

[arek1357]

Zaraz zaraz co do punktu drugiego mam pytanie jaka grupa rzędu 125 wykonuje działanie na zbiorze 30 elementowym?
Jakby to wyglądało w podziale na cykle?

[relic]

arek1357, moglbys wytlumaczyc o co Ci chodzi?

[arek1357]

Leg napisał, że spełnia punkt drugi jakaś grupa 125 elementowa, a ja się pytam jaka?

[leg14]

Wez \(\displaystyle{ H,K < G}\), gdzie \(\displaystyle{ |K| =25}\) i \(\displaystyle{ |H| =5}\)
\(\displaystyle{ X = G/K \cup G/H}\). I standardowe dzialanie na wartstwach przez mnozenie z lewej